원분체의 데데킨트 제타함수

개요

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]
• 디리클레 L-함수의 곱으로 분해할 수 있다
• 디리클레 캐릭터의 conductor 개념이 중요

데데킨트 제타함수의 분해

• \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)
• modulo n 인 디리클레 캐릭터 들의 집합 \(\hat{G}\)을 생각하자
• 각 디리클레 캐릭터\(\chi\in \hat{G}\) 는 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character \(\chi_{f}\)로부터 얻어진다.

정리

다음이 성립한다 \[\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)\]

따름정리

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

예

\(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우

• \(d_K=-3\)
• \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
• \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\]
• \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
• \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
• 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]

\(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우

• \(d_K=-4\)
• \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
• \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\]
• \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
• \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
• 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• http://www.springerlink.com/content/q8m1181vwp429788/fulltext.pdf section 10.5.4
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 디리클레 L-함수
• 완전잉여계와 기약잉여계
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSTJydWdXWDRyckU/edit