"완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)"의 두 판 사이의 차이
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| + | S_2= \frac{1}{2} \left(\Psi _1^2+\Psi _2\right) \\ | ||
| + | S_3= \frac{1}{6} \left(\Psi _1^3+3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\ | ||
| + | S_4= \frac{1}{24} \left(\Psi _1^4+6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3+6 \Psi _4\right) \\ | ||
| + | S_5= \frac{1}{120} \left(\Psi _1^5+10 \Psi _1^3 \Psi _2+15 \Psi _1 \Psi _2^2+20 \Psi _1^2 \Psi _3+20 \Psi _2 \Psi _3+30 \Psi _1 \Psi _4+24 \Psi _5\right)\\ | ||
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==슈르 다항식== | ==슈르 다항식== | ||
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}$에 대하여 $s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$이 성립한다 | * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}$에 대하여 $s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$이 성립한다 | ||
* 예 :<math>s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4=x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)</math> | * 예 :<math>s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4=x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)</math> | ||
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==메모== | ==메모== | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYU1ZTko2dGxYS1U/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYU1ZTko2dGxYS1U/edit | ||
* http://mathematica.stackexchange.com/questions/6611/any-efficient-way-to-make-complete-homogeneous-symmetric-functions-in-mathematic | * http://mathematica.stackexchange.com/questions/6611/any-efficient-way-to-make-complete-homogeneous-symmetric-functions-in-mathematic | ||
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==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
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2014년 1월 20일 (월) 08:32 판
개요
- 대칭다항식의 예
예
- 변수가 2개인 경우의 완전 동차 대칭 다항식은 다음과 같이 주어진다
$$ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2\right) & x_1+x_2 \\ h_2\left(x_1,x_2\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_2^2 \\ h_3\left(x_1,x_2\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3 \\ h_4\left(x_1,x_2\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ h_5\left(x_1,x_2\right) & x_1^5+x_2 x_1^4+x_2^2 x_1^3+x_2^3 x_1^2+x_2^4 x_1+x_2^5 \end{array} \right) $$
- 변수가 3개인 경우의 완전 동차 대칭 다항식은 다음과 같이 주어진다
$$ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2,x_3\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1+x_2+x_3 \\ h_2\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_3 x_1+x_2^2+x_3^2+x_2 x_3 \\ h_3\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_3 x_1^2+x_2^2 x_1+x_3^2 x_1+x_2 x_3 x_1+x_2^3+x_3^3+x_2 x_3^2+x_2^2 x_3 \\ h_4\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \end{array} \right) $$
거듭제곱합 대칭다항식과의 관계
- \(\Psi_i\) 를 $i$-차 거듭제곱의 합, \(\S_i\) 를 $i$-차 완전 동차 대칭 다항식이라 두자
- 다음이 성립한다
\[ \begin{array}{l} S_1-\Psi _1=0 \\ 2 S_2-S_1 \Psi _1-\Psi _2=0 \\ 3 S_3-S_2 \Psi _1-S_1 \Psi _2-\Psi _3=0\\ 4 S_4-S_3 \Psi _1-S_2 \Psi _2-S_1 \Psi _3-\Psi _4=0 \\ 5 S_5-S_4 \Psi _1-S_3 \Psi _2-S_2 \Psi _3-S_1 \Psi _4-\Psi _5=0\\ \cdots \end{array} \]
거듭제곱합 대칭다항식을 이용한 표현
$$ \begin{array}{l} S_1= \Psi _1 \\ S_2= \frac{1}{2} \left(\Psi _1^2+\Psi _2\right) \\ S_3= \frac{1}{6} \left(\Psi _1^3+3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\ S_4= \frac{1}{24} \left(\Psi _1^4+6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3+6 \Psi _4\right) \\ S_5= \frac{1}{120} \left(\Psi _1^5+10 \Psi _1^3 \Psi _2+15 \Psi _1 \Psi _2^2+20 \Psi _1^2 \Psi _3+20 \Psi _2 \Psi _3+30 \Psi _1 \Psi _4+24 \Psi _5\right)\\ \cdots \end{array} $$
슈르 다항식
- 슈르 다항식(Schur polynomial) $s_{\lambda}$에 대하여 $s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$이 성립한다
- 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4=x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)\]
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYU1ZTko2dGxYS1U/edit
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/6611/any-efficient-way-to-make-complete-homogeneous-symmetric-functions-in-mathematic
수학용어번역
- 완전, 완비, complete - 대한수학회 수학용어집