"Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| − | + | ==개요== | |
* [[리만제타함수]]는 정수론, 특히 소수 연구에서 중요한 함수임 | * [[리만제타함수]]는 정수론, 특히 소수 연구에서 중요한 함수임 | ||
| − | * 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 알려져 있다. [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 항목 참조<br> | + | * 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 알려져 있다. [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 항목 참조<br> <math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math><br> |
* 홀수에서의 리만 제타함수에 대해서는<br> | * 홀수에서의 리만 제타함수에 대해서는<br> | ||
** <math>\zeta(3)</math>은 무리수. (초월수인지는 모름) | ** <math>\zeta(3)</math>은 무리수. (초월수인지는 모름) | ||
** <math>\zeta(2n+1)</math> 중 무리수인 것은 무수히 많다. | ** <math>\zeta(2n+1)</math> 중 무리수인 것은 무수히 많다. | ||
| − | ** <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> | + | ** <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> 중 적어도 하나는 무리수이다.<br> |
* 1979년 Apery는 <math>\zeta(3)</math> 이 무리수임을 보였으며, 이후로 <math>\zeta(3)</math> 는 Apery 상수라 불린다. | * 1979년 Apery는 <math>\zeta(3)</math> 이 무리수임을 보였으며, 이후로 <math>\zeta(3)</math> 는 Apery 상수라 불린다. | ||
* 아페리의 증명에는 다음과 같은 등식이 사용되었다<br><math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}</math><br> | * 아페리의 증명에는 다음과 같은 등식이 사용되었다<br><math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}</math><br> | ||
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| − | + | ==<math>\zeta(3)</math>이 무리수임의 증명== | |
* '''[Beukers1979]''' 의 증명 | * '''[Beukers1979]''' 의 증명 | ||
| − | * '''[Huylebrouck2001] | + | * '''[Huylebrouck2001] ''' 참조 |
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'''보조정리 1''' | '''보조정리 1''' | ||
| − | 충분히 큰 n에 대하여, 1, 2, 3, | + | 충분히 큰 n에 대하여, 1, 2, 3, \[Ellipsis], n 의 최소공배수(<math>d_n</math>라 쓰자)는 <math>2.99^n</math> 보다 작다. |
([[1부터 n까지의 최소공배수]] 항목 참조) | ([[1부터 n까지의 최소공배수]] 항목 참조) | ||
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(증명) | (증명) | ||
| − | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}</math> | + | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}</math> |
[[소수정리]]에 의하여, 충분히 큰 n에 대하여 <math>\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}</math> 이 성립한다. 그러므로 <math>n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n</math> | [[소수정리]]에 의하여, 충분히 큰 n에 대하여 <math>\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}</math> 이 성립한다. 그러므로 <math>n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n</math> | ||
| − | 그러므로 <math>d_n<2.99^n</math>. | + | 그러므로 <math>d_n<2.99^n</math>. \[FilledSquare] |
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'''보조정리 2''' | '''보조정리 2''' | ||
| − | r, | + | r, s 는 음 아닌 정수라 하자. |
* r > s 이면<br> | * r > s 이면<br> | ||
| − | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy</math> | + | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy</math> 는 분모가 <math>d_r^2</math>의 약수인 유리수이다. |
** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy </math> 는 분모가 <math>d_r^3</math>의 약수인 유리수이다. | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy </math> 는 분모가 <math>d_r^3</math>의 약수인 유리수이다. | ||
* r = s 이면<br> | * r = s 이면<br> | ||
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* [[이중적분과 바젤문제]] | * [[이중적분과 바젤문제]] | ||
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(증명) | (증명) | ||
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여기서 | 여기서 | ||
| − | <math>\frac{1}{ (1+k+s+\delta )}-\frac{1}{(1+k+r+\delta ) }=\frac{r-s}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}</math> | + | <math>\frac{1}{ (1+k+s+\delta )}-\frac{1}{(1+k+r+\delta ) }=\frac{r-s}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}</math> 를 이용하면, 감쇄급수가 된다. |
이를 이용하여 다음을 얻는다 : | 이를 이용하여 다음을 얻는다 : | ||
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r>s 일 때, | r>s 일 때, | ||
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<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+1+\delta}+\cdots +\frac{1}{r+\delta} \right)</math> | <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+1+\delta}+\cdots +\frac{1}{r+\delta} \right)</math> | ||
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위 식의 양변을 <math>\delta</math>로 미분하면, | 위 식의 양변을 <math>\delta</math>로 미분하면, | ||
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r>s 일 때, | r>s 일 때, | ||
| − | <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{(s+1+\delta)^2}+\cdots +\frac{1}{(r+\delta)^2} \right)</math>. | + | <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{(s+1+\delta)^2}+\cdots +\frac{1}{(r+\delta)^2} \right)</math>. \[FilledSquare] |
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'''보조정리 3''' | '''보조정리 3''' | ||
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<math>u, v, w \in (0,1)</math> 이면, <math>\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}</math>. | <math>u, v, w \in (0,1)</math> 이면, <math>\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}</math>. | ||
| − | (<math>u, v, w \in (0,1)</math> 에서의 최대값은 <math>(\sqrt{2}-1)^4</math> | + | (<math>u, v, w \in (0,1)</math> 에서의 최대값은 <math>(\sqrt{2}-1)^4</math> 이다) [[다변수 함수의 임계점]] 항목 참조) |
(증명) | (증명) | ||
| − | [[산술기하조화평균과 부등식|산술기하 부등식]]에서, <math>1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}</math>이다. 그러므로, <math>\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)$$ | + | [[산술기하조화평균과 부등식|산술기하 부등식]]에서, <math>1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}</math>이다. 그러므로, <math>\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)$$ ì\.b4ë¤.</math><br><math>0<x<1</math>에서 <math>x(1-x)</math>의 최대값은 <math>\frac{1}{4}</math>이고, <math>x(1-x^2)</math>의 최대값은 <math>\frac{2}{3\sqrt{3}}</math>이다. 그러므로, |
| − | <math>\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} # </math> | + | <math>\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} # </math>\[FilledSquare] |
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'''정의''' | '''정의''' | ||
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정수 <math>n\geq 0</math> 에 대하여 다항식 <math>P_n</math>을 다음과 같이 정의하자. | 정수 <math>n\geq 0</math> 에 대하여 다항식 <math>P_n</math>을 다음과 같이 정의하자. | ||
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<math>P_{0}(x)=0</math>, <math>P_{1}(x)=1-2x</math>, <math>P_{2}(x)=1-6x-6x^2</math> | <math>P_{0}(x)=0</math>, <math>P_{1}(x)=1-2x</math>, <math>P_{2}(x)=1-6x-6x^2</math> | ||
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'''보조정리 4''' | '''보조정리 4''' | ||
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<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다. | <math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다. | ||
| − | <math>\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>. | + | <math>\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>. |
(증명) | (증명) | ||
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<math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(0)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면, | <math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(0)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면, | ||
| − | <math>\int_0^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_0^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_0^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math> | + | <math>\int_0^1Q^{(n)}(x)f (x)\,dx=-\int_0^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_0^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math> |
| − | <math>P_n(x) = \frac{Q^{(n)}(x)}{n!}</math> 이므로 증명되었다. | + | <math>P_n(x) = \frac{Q^{(n)}(x)}{n!}</math> 이므로 증명되었다. \[FilledSquare] |
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'''정의''' | '''정의''' | ||
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<math>I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy</math> 라고 하자. | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy</math> 라고 하자. | ||
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'''보조정리 5''' | '''보조정리 5''' | ||
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(증명) | (증명) | ||
| − | <math>P_n(x)P_n(y)</math>는 정수계수 다항식이다. 그러므로, '''보조정리 2'''에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 <math>A_n,\ B_n</math>을 찾을 수 있다. | + | <math>P_n(x)P_n(y)</math>는 정수계수 다항식이다. 그러므로, '''보조정리 2'''에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 <math>A_n,\ B_n</math>을 찾을 수 있다. \[FilledSquare] |
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'''보조정리 6''' | '''보조정리 6''' | ||
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<math>0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math>. 즉, <math>0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math> 이 성립한다. | <math>0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math>. 즉, <math>0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math> 이 성립한다. | ||
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(증명) | (증명) | ||
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<math>f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}</math>에 대하여 '''보조정리 4'''를 적용하자. <math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}</math> 이므로, | <math>f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}</math>에 대하여 '''보조정리 4'''를 적용하자. <math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}</math> 이므로, | ||
| − | <math> \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{x^{n}(1-x)^n(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx</math> 을 얻는다. | + | <math> \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{x^{n}(1-x)^n(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx</math> 을 얻는다. |
따라서 | 따라서 | ||
| − | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math> 이다. | + | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math> 이다. |
| − | + | ||
<math>w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}</math>로 치환하면, <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw</math> 이다. | <math>w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}</math>로 치환하면, <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw</math> 이다. | ||
| 202번째 줄: | 200번째 줄: | ||
따라서 | 따라서 | ||
| − | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)w(1-w)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw</math> | + | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)w (1-w)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw</math> |
이제 '''보조정리 2'''와 '''보조정리 3'''에 의해 | 이제 '''보조정리 2'''와 '''보조정리 3'''에 의해 | ||
| − | <math>I_n \leq \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dwdxdy =\frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3)</math> | + | <math>I_n \leq \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dwdxdy =\frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3)</math> \[FilledSquare] |
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'''귀류법을 이용한 명제의 증명''' | '''귀류법을 이용한 명제의 증명''' | ||
| − | 귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 <math>\zeta(3)</math>이 유리수, 예컨대 <math>$\zeta(3) = \frac{a}{b}</math> 라 하자(a, b는 서로소인 자연수). | + | 귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 <math>\zeta(3)</math>이 유리수, 예컨대 <math>$\zeta(3) = \frac{a}{b}</math> 라 하자 (a, b는 서로소인 자연수). |
'''보조정리 1'''과 '''보조정리 6'''에 의하여, | '''보조정리 1'''과 '''보조정리 6'''에 의하여, | ||
| 220번째 줄: | 218번째 줄: | ||
<math>0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} </math> | <math>0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} </math> | ||
| − | 충분히 큰 n을 잡으면, | + | 충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 <math>|bA_n + aB_n|</math> 가 1보다 작아지므로 모순이다. |
| − | 그러므로, <math>\zeta(3)</math>은 무리수이다. | + | 그러므로, <math>\zeta(3)</math>은 무리수이다.\[FilledSquare] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==재미있는 사실== | |
| − | * 같은 아이디어를 <math>\ln 2, \pi, \zeta(2)</math> 등이 무리수임을 보이는데 사용할 수 있다 [[파이 | + | * 같은 아이디어를 <math>\ln 2, \pi, \zeta(2)</math> 등이 무리수임을 보이는데 사용할 수 있다 [[파이 \[Pi]는 무리수이다]] 항목 참조 |
* Math Overflow | * Math Overflow | ||
* http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698 | * http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698 | ||
| − | * 네이버 지식인 [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%95%84%ED% | + | * 네이버 지식인 [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=% EC %95 %84 % ED %8 E %98 % EB % A6 % AC http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=아페리] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
* 1978년 Roger Apéry에 의해 증명 | * 1978년 Roger Apéry에 의해 증명 | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모[http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf ]== | |
| + | * \[Zeta](3)는 무리수이다(아페리의 정리) | ||
| + | <math>\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | 위 과정을 n번 반복하면 <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math>이다. | |
| − | |||
| − | 위 과정을 n번 반복하면 <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math>이다. | ||
* http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf | * http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | * [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | ||
| − | * [[파이 | + | * [[파이 \[Pi]는 무리수이다]] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | * | + | * |
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* http://functions.wolfram.com/ | * http://functions.wolfram.com/ | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry% | + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Ap% C3 % A9ry %27 s_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Apéry's_theorem] |
| − | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%ED% | + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC %95 %84 % ED %8 E %98 % EB % A6 % AC_ % EC %83 %81 % EC %88 %98 http://ko.wikipedia.org/wiki/아페리_상수] |
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| − | + | ==관련논문== | |
* [http://arxiv.org/abs/math/0201024 An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] Wadim Zudilin, 2002 | * [http://arxiv.org/abs/math/0201024 An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] Wadim Zudilin, 2002 | ||
| − | * '''[Huylebrouck2001]'''[http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for | + | * '''[Huylebrouck2001]'''[http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for \[Pi], ln2, \[Zeta](2), and \[Zeta](3)]<br> |
| − | ** Dirk Huylebrouck, | + | ** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231 |
| − | * '''[Beukers1979]'''[http://dx.doi.org/10.1112% | + | * '''[Beukers1979]'''[http://dx.doi.org/10.1112%2 Fblms %2 F11 .3.268 A note on the irrationality of \[Zeta](2) and \[Zeta](3)]<br> |
| − | ** F. Beukers (1979). Bull. London Math. Soc. 11: | + | ** F. Beukers (1979). Bull. London Math. Soc. 11: 268\[Dash]272. |
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007% | + | * [http://dx.doi.org/10.1007%2 FBF03028234 A proof that Euler missed ... Apéry\[CloseCurlyQuote]s Proof of the irrationality of \[Zeta](3)]<br> |
| − | ** A. van der Poorten, The Mathematical Intelligencer 1 (4): | + | ** A. van der Poorten, The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195\[Dash]203, 1979 |
** http://www.ega-math.narod.ru/Apery1.htm | ** http://www.ega-math.narod.ru/Apery1.htm | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
* http://www.amazon.com/The-Number-Pi-Pierre-Eymard/dp/0821832468 4.4 | * http://www.amazon.com/The-Number-Pi-Pierre-Eymard/dp/0821832468 4.4 | ||
2012년 9월 20일 (목) 16:11 판
개요
- 리만제타함수는 정수론, 특히 소수 연구에서 중요한 함수임
- 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 알려져 있다. 정수에서의 리만제타함수의 값 항목 참조
\(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\) - 홀수에서의 리만 제타함수에 대해서는
- \(\zeta(3)\)은 무리수. (초월수인지는 모름)
- \(\zeta(2n+1)\) 중 무리수인 것은 무수히 많다.
- \(\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수이다.
- 1979년 Apery는 \(\zeta(3)\) 이 무리수임을 보였으며, 이후로 \(\zeta(3)\) 는 Apery 상수라 불린다.
- 아페리의 증명에는 다음과 같은 등식이 사용되었다
\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)
\(\zeta(3)\)이 무리수임의 증명
- [Beukers1979] 의 증명
- [Huylebrouck2001] 참조
보조정리 1
충분히 큰 n에 대하여, 1, 2, 3, \[Ellipsis], n 의 최소공배수(\(d_n\)라 쓰자)는 \(2.99^n\) 보다 작다.
(1부터 n까지의 최소공배수 항목 참조)
(증명)
\(d_n = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}\)
소수정리에 의하여, 충분히 큰 n에 대하여 \(\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}\) 이 성립한다. 그러므로 \(n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n\)
그러므로 \(d_n<2.99^n\). \[FilledSquare]
보조정리 2
r, s 는 음 아닌 정수라 하자.
- r > s 이면
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy\) 는 분모가 \(d_r^2\)의 약수인 유리수이다.
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy \) 는 분모가 \(d_r^3\)의 약수인 유리수이다.
- r = s 이면
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}\)
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})\)
(여기서 r = 0 이면 \(\sum_{j = 1}^{r}a_j = 0\)이라 하자)
- 이중적분과 바젤문제
(증명)
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}\)
여기서
\(\frac{1}{ (1+k+s+\delta )}-\frac{1}{(1+k+r+\delta ) }=\frac{r-s}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}\) 를 이용하면, 감쇄급수가 된다.
이를 이용하여 다음을 얻는다 :
r=s 일 때,
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta )^2}\)
r>s 일 때,
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+1+\delta}+\cdots +\frac{1}{r+\delta} \right)\)
위 식의 양변을 \(\delta\)로 미분하면,
r=s 일 때,
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(1+k+r+\delta )^3}\)
r>s 일 때,
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{(s+1+\delta)^2}+\cdots +\frac{1}{(r+\delta)^2} \right)\). \[FilledSquare]
보조정리 3
\(u, v, w \in (0,1)\) 이면, \(\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}\).
(\(u, v, w \in (0,1)\) 에서의 최대값은 \((\sqrt{2}-1)^4\) 이다) 다변수 함수의 임계점 항목 참조)
(증명)
산술기하 부등식에서, \(1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}\)이다. 그러므로, \(\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)$$ ì\.b4ë¤.\)
\(0<x<1\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(\frac{1}{4}\)이고, \(x(1-x^2)\)의 최대값은 \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\)이다. 그러므로,
\(\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} # \)\[FilledSquare]
정의
정수 \(n\geq 0\) 에 대하여 다항식 \(P_n\)을 다음과 같이 정의하자.
\(P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)\)
이 다항식은 정수계수 다항식인것을 알 수 있다. (이 다항식은 본질적으로 르장드르 다항식이다)
\(P_{0}(x)=0\), \(P_{1}(x)=1-2x\), \(P_{2}(x)=1-6x-6x^2\)
보조정리 4
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).
(증명)
\(Q(x)=x^n(1-x)^n\) 라 두자.
\(0\leq k < n\) 일 때 \(Q^{(k)}(0)=Q^{(k)}(1)=0\)이므로. 부분적분을 반복적용하면,
\(\int_0^1Q^{(n)}(x)f (x)\,dx=-\int_0^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_0^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx\)
\(P_n(x) = \frac{Q^{(n)}(x)}{n!}\) 이므로 증명되었다. \[FilledSquare]
정의
\(I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy\) 라고 하자.
보조정리 5
\(I_n = \frac{A_n + B_n\zeta(3)}{d_n^3}\)를 만족하는 정수 \(A_n,\ B_n\)가 존재한다.
(증명)
\(P_n(x)P_n(y)\)는 정수계수 다항식이다. 그러므로, 보조정리 2에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 \(A_n,\ B_n\)을 찾을 수 있다. \[FilledSquare]
보조정리 6
\(0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}\). 즉, \(0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}\) 이 성립한다.
(증명)
\(\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}dz = -\frac{\log(xy)}{1-xy}\)이므로, \(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz\)라고 쓸 수 있다.
\(f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}\)에 대하여 보조정리 4를 적용하자. \(f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\) 이므로,
\( \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{x^{n}(1-x)^n(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx\) 을 얻는다.
따라서
\(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz\) 이다.
\(w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}\)로 치환하면, \(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw\) 이다.
이제 \(g(y)=\frac{1}{1-(1-xy)w}\)에 보조정리 4를 적용하자. \(g^{(n)}(y)=\frac{(-1)^{n}n!(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}\) 이므로,
\( \int_0^1\frac{P_n(y)}{1-(1-xy)w} dy=\int_0^1\frac{y^{n}(1-y)^n(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}\,dy\) 을 얻는다.
따라서
\(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)w (1-w)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw\)
이제 보조정리 2와 보조정리 3에 의해
\(I_n \leq \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dwdxdy =\frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3)\) \[FilledSquare]
귀류법을 이용한 명제의 증명
귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 \(\zeta(3)\)이 유리수, 예컨대 \($\zeta(3) = \frac{a}{b}\) 라 하자 (a, b는 서로소인 자연수).
보조정리 1과 보조정리 6에 의하여,
\(0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} \)
충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 \(|bA_n + aB_n|\) 가 1보다 작아지므로 모순이다.
그러므로, \(\zeta(3)\)은 무리수이다.\[FilledSquare]
재미있는 사실
- 같은 아이디어를 \(\ln 2, \pi, \zeta(2)\) 등이 무리수임을 보이는데 사용할 수 있다 [[파이 \[Pi]는 무리수이다]] 항목 참조
- Math Overflow
- http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698
- 네이버 지식인 EC %95 %84 % ED %8 E %98 % EB % A6 % AC http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=아페리
역사
- 1978년 Roger Apéry에 의해 증명
- 1979년 Beukers의
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사연표
메모[1]
- \[Zeta](3)는 무리수이다(아페리의 정리)
\(\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}\)
위 과정을 n번 반복하면 \(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz\)이다.
관련된 항목들
- 정수에서의 리만제타함수의 값
- [[파이 \[Pi]는 무리수이다]]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- C3 % A9ry %27 s_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Apéry's_theorem
- %95 %84 % ED %8 E %98 % EB % A6 % AC_ % EC %83 %81 % EC %88 %98 http://ko.wikipedia.org/wiki/아페리_상수
관련논문
- An Apéry-like difference equation for Catalan's constant Wadim Zudilin, 2002
- [Huylebrouck2001]Similarities in Irrationality Proofs for \[Pi, ln2, \[Zeta](2), and \[Zeta](3)]
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- [Beukers1979]Fblms %2 F11 .3.268 A note on the irrationality of \[Zeta(2) and \[Zeta](3)]
- F. Beukers (1979). Bull. London Math. Soc. 11: 268\[Dash]272.
- FBF03028234 A proof that Euler missed ... Apéry\[CloseCurlyQuotes Proof of the irrationality of \[Zeta](3)]
- A. van der Poorten, The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195\[Dash]203, 1979
- http://www.ega-math.narod.ru/Apery1.htm
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/