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| − | * <math>p</math> 는 소수<br><math>a=1</math>이고 <math>\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)</math> 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐<br><math>g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}</math><br> | + | * 정의<br><math>p</math> 는 홀수인 소수<br><math>a=1</math>이고 <math>\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)</math> 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐<br><math>g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}</math><br> |
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| + | * 다음 정의를 사용하기도 함 | ||
<math>\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> | <math>\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> | ||
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<math>2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math> (증명끝) | <math>2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math> (증명끝) | ||
| − | * 소수가 아닌 | + | * 소수가 아닌 모든 자연수 <math>M</math>에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음<br><math>G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}</math><br><math>p \equiv 1 \pmod{4}</math> 일 때, <math>g_1(\chi) = \sqrt{p}</math><br><math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 일 때, <math>g_1(\chi) =i\sqrt{p}</math><br> |
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2009년 11월 11일 (수) 15:57 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 유한군에 대한 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
초등정수론의 가우스합
- 정의
\(p\) 는 홀수인 소수
\(a=1\)이고 \(\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐
\(g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}\)
(정리)
홀수인 소수 \(p\)에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.
\(p \equiv 1 \pmod{4}\) 일 때, \(g_1(\chi) = \sqrt{p}\)
\(p \equiv 3 \pmod{4}\) 일 때, \(g_1(\chi) =i\sqrt{p}\)
- 다음 정의를 사용하기도 함
\(\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\)
- 이 두 정의가 같음을 보이자
\(\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\)
(증명)
\(A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\)
\(B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a\)
\(A+B=-1\)
\(A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\)
\(2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\) (증명끝)
- 소수가 아닌 모든 자연수 \(M\)에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음
\(G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}\)
\(p \equiv 1 \pmod{4}\) 일 때, \(g_1(\chi) = \sqrt{p}\)
\(p \equiv 3 \pmod{4}\) 일 때, \(g_1(\chi) =i\sqrt{p}\)
더 일반적인 가우스합
- 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
- \(a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
\(g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}\)
여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/f}\)
- 성질
\(g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\)
\(\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\) -
primitive인 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴
\(\tau(\chi)=g_1(\chi)\)라 두면, \(|\tau(\chi)|=\sqrt{f}\) -
유한아벨군의 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음 - \(a=1\)이고 \(\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 맨 위에 정의한 가우스합을 다시 얻게 됨
이차잉여 character와 가우스합
\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 3\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 1\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)
\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는
\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)
일반적인
\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는
\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=2\sqrt{q}\)
정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합
- \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\) 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
- \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
- 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
- \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
- \(A_0+A_1= -1\) 임은 쉽게 알 수 있음
- \(A_0-A_1\) 는 가우스합이므로 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\)
- \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- A Classical Introduction to Modern Number Theory(Graduate Texts in Mathematics) (v. 84)
- Kenneth Ireland, Michael Rosen
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문과 에세이
- The determination of Gauss sums
- Bruce C. Berndt and Ronald J. Evans, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 5, Number 2 (1981), 107-129
- Gauss Sums and the p-adic Γ-function
- Benedict H. Gross and Neal Koblitz, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 109, No. 3 (May, 1979), pp. 569-581
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/가우스합
- http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum
- [1][2]http://en.wikipedia.org/wiki/
- Gaussian sums, Dedekind sums and the Jacobi triple product identity
- Robert SCZECH, Kyushu Journal of Mathematics, Vol. 49 (1995) , No. 2 233-241
블로그
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