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==개요==
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]에서 사용되는 완전제곱식 만들기의 일반화
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==1변수의 경우==
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\frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\
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{}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a}
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==다변수의 경우==
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* <math>A</math>는 역행렬을 갖는 <math>n\times n</math> 대칭 행렬, <math>\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}</math>는 n-벡터, <math>c</math>는 상수라 하자
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* 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다
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\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c
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* 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다
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\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b}
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* [[N차원 가우시안 적분]]에 응용
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==관련된 항목들==
 
* [[2차 방정식의 근의 공식]]
 
* [[2차 방정식의 근의 공식]]
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* [[N차원 가우시안 적분]]
 
* [[대칭행렬의 대각화]]
 
* [[대칭행렬의 대각화]]
 
* [[이차곡선과 회전변환]]
 
* [[이차곡선과 회전변환]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEQwNEpINVNwdnM/edit

2020년 11월 12일 (목) 00:43 기준 최신판

개요


1변수의 경우

\[ \begin{aligned} \frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ {}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} \end{aligned} \]


다변수의 경우

  • \(A\)는 역행렬을 갖는 \(n\times n\) 대칭 행렬, \(\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}\)는 n-벡터, \(c\)는 상수라 하자
  • 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다

\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c \]

  • 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다

\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} \]


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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