"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이

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(새 문서: ==개요== ==관련된 항목들== * 루트2는 무리수이다 * A4 종이와 루트2 * 정다각형의 대각선의 길이)
 
 
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* 루트 2, <math>\sqrt{2}</math>, 피타고라스 상수라 불리기도 함
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* 무리수의 대표적인 예
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* 방정식 <math>x^2=2</math>를 만족시키며, 대수적 수
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==연분수 전개==
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* 루트 2의 연분수 전개는 <math>[1;2,2,2,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다
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:<math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>
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* convergents는 다음과 같이 주어진다 :<math>1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots </math>
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==정수 수열==
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* 정수로 이루어진 수열 <math>\{p_n\},\{q_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots</math>
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* 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
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** <math>p_{n+1}=p_n+2 q_n</math>, <math>p_0=1</math>
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* 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
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** <math>p_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
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* 다음의 성질을 만족한다
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** <math>p_n/q_n</math>는 루트 2로 수렴한다
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** <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}</math>
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*** <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1</math>
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==메모==
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* http://akngs.tumblr.com/post/31121578650/2
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcG45U3dVWTEtelk/edit
  
  
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* [[A4 종이와 루트2]]
 
* [[A4 종이와 루트2]]
 
* [[정다각형의 대각선의 길이]]
 
* [[정다각형의 대각선의 길이]]
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* [[루카스 수열]]
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* [[선형점화식]]
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* [[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]]
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[[분류:상수]]
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[[분류:연분수]]

2020년 11월 12일 (목) 07:09 기준 최신판

개요

  • 루트 2, \(\sqrt{2}\), 피타고라스 상수라 불리기도 함
  • 무리수의 대표적인 예
  • 방정식 \(x^2=2\)를 만족시키며, 대수적 수


연분수 전개

  • 루트 2의 연분수 전개는 \([1;2,2,2,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다

\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]

  • convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]


정수 수열

  • 정수로 이루어진 수열 \(\{p_n\},\{q_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots\]
  • 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
    • \(p_{n+1}=p_n+2 q_n\), \(p_0=1\)
    • \(q_{n+1}=p_n+q_n\), \(q_0=0\)
  • 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
    • \(p_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
    • \(q_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
  • 다음의 성질을 만족한다
    • \(p_n/q_n\)는 루트 2로 수렴한다
    • \(p_n/q_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
    • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}\)
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} \)
    • \(\{p_n\},\{q_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
      • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1\)
      • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1\)

메모


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련된 항목들

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