2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

개요

• 루트 2, \(\sqrt{2}\), 피타고라스 상수라 불리기도 함
• 무리수의 대표적인 예
• 방정식 \(x^2=2\)를 만족시키며, 대수적 수

연분수 전개

• 루트 2의 연분수 전개는 \([1;2,2,2,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다

\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]

• convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]

정수 수열

• 정수로 이루어진 수열 \(\{p_n\},\{q_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots\]
• 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
  • \(p_{n+1}=p_n+2 q_n\), \(p_0=1\)
  • \(q_{n+1}=p_n+q_n\), \(q_0=0\)
• 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
  • \(p_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
  • \(q_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
• 다음의 성질을 만족한다
  • \(p_n/q_n\)는 루트 2로 수렴한다
  • \(p_n/q_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
  • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}\)
  • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} \)
  • \(\{p_n\},\{q_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
    • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1\)
    • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1\)

메모

• http://akngs.tumblr.com/post/31121578650/2

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcG45U3dVWTEtelk/edit

관련된 항목들

• 루트2는 무리수이다
• A4 종이와 루트2
• 정다각형의 대각선의 길이
• 루카스 수열
• 선형점화식
• 실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit