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* 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 ([[periods]]) | * 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 ([[periods]]) | ||
| − | * 가정들 | + | * 가정들 |
** 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다) | ** 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다) | ||
** 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자. | ** 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자. | ||
| − | ** 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자. | + | ** 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자. |
*** 다항식의 미분, <math>\sqrt{x}</math>의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등 | *** 다항식의 미분, <math>\sqrt{x}</math>의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등 | ||
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원주율을 적분을 통해 표현해보자. | 원주율을 적분을 통해 표현해보자. | ||
| − | 단위원 | + | 단위원 <math>C</math>의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 <math>x^2+y^2=1</math>을 이용하자. <math>y=\sqrt{1-x^2}</math>를 이용하면, <math>C</math>의 둘레의 길이의 절반은 다음과 같이 표현할 수 있다: |
| − | + | :<math>\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> | |
| − | <math>\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac | ||
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원주율은 <math>\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 로 정의된다. | 원주율은 <math>\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 로 정의된다. | ||
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단위원의 면적은 <math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx</math> 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 <math>\pi</math>가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까? | 단위원의 면적은 <math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx</math> 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 <math>\pi</math>가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까? | ||
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<math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 를 보이면 된다. | <math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 를 보이면 된다. | ||
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| + | 먼저 다음의 등식을 확인하자: | ||
| + | :<math>\frac{d}{dx} \left(x \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math> | ||
| + | 양변을 적분하면 다음을 얻는다: | ||
| + | :<math>\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0.</math> | ||
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| + | :<math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.</math> | ||
따라서 단위원의 면적은 <math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi</math> 가 된다. ■ | 따라서 단위원의 면적은 <math>4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi</math> 가 된다. ■ | ||
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| + | * 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현 | ||
| + | :<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>:<math>\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})</math> | ||
| + | :<math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx </math> | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
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* [[타원적분론 입문]] | * [[타원적분론 입문]] | ||
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]] | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]] | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | * | + | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmUwZTEwMDgtNTQ2MS00YTY5LWEzZjQtNzA0ZDZhMWY4NmMz&sort=name&layout=list&num=50 |
| − | + | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2Fsqrt%281-x%5E2%29+%2C%7Bx%2C-1%2C1%7D] http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2Fsqrt%281-x^2%29+%2C{x%2C-1%2C1}]] | |
| − | + | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint+%5Cleft%282+%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%5Cright%29+%5C%2C+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=\int+\left%282+\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right%29+\%2C+dx] | |
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* [[매스매티카 파일 목록]] | * [[매스매티카 파일 목록]] | ||
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| + | * [http://img.kisti.re.kr/originalView/originalView.jsp?url=/soc_img/society//ksesm/SHGOCD/2006/v8n3/SHGOCD_2006_v8n3_291.pdf 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화], 최영기(Choi Young Gi), 홍갑주(Hong Gap Ju), 학교수학 제8권 제3호, 2006.9 | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://www.ams.org/mathscinet | * http://www.ams.org/mathscinet | ||
* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
| − | + | [[분류:원주율]] | |
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2020년 12월 28일 (월) 02:48 기준 최신판
개요
- 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
- 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
- 가정들
- 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
- 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
- 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
- 다항식의 미분, \(\sqrt{x}\)의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등
단위원의 둘레의 길이와 적분
원주율을 적분을 통해 표현해보자.
단위원 \(C\)의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자. \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, \(C\)의 둘레의 길이의 절반은 다음과 같이 표현할 수 있다: \[\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.
단위원의 면적과 적분
단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \(\pi\)가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?
\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 를 보이면 된다.
- 정리
\[4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\]
- 증명
먼저 다음의 등식을 확인하자: \[\frac{d}{dx} \left(x \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\] 양변을 적분하면 다음을 얻는다: \[\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0.\] 이로부터 다음을 얻는다: \[4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.\] 따라서 단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi\) 가 된다. ■
삼각함수론의 재구성
메모
- 대수적 함수와 아벨적분
- 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
\[\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\]\[\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\] \[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmUwZTEwMDgtNTQ2MS00YTY5LWEzZjQtNzA0ZDZhMWY4NmMz&sort=name&layout=list&num=50
- [1%2Fsqrt%281-x%5E2%29+%2C%7Bx%2C-1%2C1%7D http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2Fsqrt%281-x^2%29+%2C{x%2C-1%2C1}]]
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=\int+\left%282+\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right%29+\%2C+dx
관련논문
- 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화, 최영기(Choi Young Gi), 홍갑주(Hong Gap Ju), 학교수학 제8권 제3호, 2006.9
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/