완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)

개요

• 대칭다항식의 예

정의

• 변수의 개수 \(n\)
• \(k\)차의 완전 동차 다항식을 다음과 같이 정의

\[ h_k(x_1,\cdots,x_n):=\sum_{1\leq i_1\leq i_2\cdot \leq i_k\leq n}x_{i_1}\cdots x_{i_k} \]

• \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \(h_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\)을 다음과 같이 정의

\[ h_{\lambda}(x_1,\cdots,x_n):=h_{\lambda_1}(x_1,\cdots,x_n)\cdots h_{\lambda_n}(x_1,\cdots,x_n) \]

예

변수가 2개인 경우

\[ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2\right) & x_1+x_2 \\ h_2\left(x_1,x_2\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_2^2 \\ h_3\left(x_1,x_2\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3 \\ h_4\left(x_1,x_2\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ h_5\left(x_1,x_2\right) & x_1^5+x_2 x_1^4+x_2^2 x_1^3+x_2^3 x_1^2+x_2^4 x_1+x_2^5 \end{array} \right) \]

\begin{array}{c|c} \lambda & h_{\lambda } \\ \hline \{3\} & x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3 \\ \{2,1\} & \left(x_1+x_2\right) \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right) \\ \{1,1,1\} & \left(x_1+x_2\right){}^3 \\ \end{array}

\begin{array}{c|c} \lambda & h_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ \{3,1\} & \left(x_1+x_2\right) \left(x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3\right) \\ \{2,2\} & \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right){}^2 \\ \{2,1,1\} & \left(x_1+x_2\right){}^2 \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right) \\ \{1,1,1,1\} & \left(x_1+x_2\right){}^4 \\ \end{array}

변수가 3개인 경우

\[ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2,x_3\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1+x_2+x_3 \\ h_2\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_3 x_1+x_2^2+x_3^2+x_2 x_3 \\ h_3\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_3 x_1^2+x_2^2 x_1+x_3^2 x_1+x_2 x_3 x_1+x_2^3+x_3^3+x_2 x_3^2+x_2^2 x_3 \\ h_4\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \end{array} \right) \]

\begin{array}{c|c} \lambda & h_{\lambda } \\ \hline \{2\} & x_1^2+x_2 x_1+x_3 x_1+x_2^2+x_3^2+x_2 x_3 \\ \{1,1\} & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2 \\ \end{array}

\begin{array}{c|c} \lambda & h_{\lambda } \\ \hline \{3\} & x_1^3+x_2 x_1^2+x_3 x_1^2+x_2^2 x_1+x_3^2 x_1+x_2 x_3 x_1+x_2^3+x_3^3+x_2 x_3^2+x_2^2 x_3 \\ \{2,1\} & \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2 x_1+x_3 x_1+x_2^2+x_3^2+x_2 x_3\right) \\ \{1,1,1\} & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3 \\ \end{array}

거듭제곱합 대칭다항식과의 관계

• 거듭제곱 대칭 다항식 (power sum symmetric polynomial)
• \(\Psi_i\) 를 \(i\)-차 거듭제곱의 합, \(S_i\) 를 \(i\)-차 완전 동차 대칭 다항식이라 두자
• 다음이 성립한다

\[ \begin{array}{l} S_1-\Psi _1=0 \\ 2 S_2-S_1 \Psi _1-\Psi _2=0 \\ 3 S_3-S_2 \Psi _1-S_1 \Psi _2-\Psi _3=0\\ 4 S_4-S_3 \Psi _1-S_2 \Psi _2-S_1 \Psi _3-\Psi _4=0 \\ 5 S_5-S_4 \Psi _1-S_3 \Psi _2-S_2 \Psi _3-S_1 \Psi _4-\Psi _5=0\\ \cdots \end{array} \]

거듭제곱합 대칭다항식을 이용한 표현

\[ \begin{array}{l} S_1= \Psi _1 \\ S_2= \frac{1}{2} \left(\Psi _1^2+\Psi _2\right) \\ S_3= \frac{1}{6} \left(\Psi _1^3+3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\ S_4= \frac{1}{24} \left(\Psi _1^4+6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3+6 \Psi _4\right) \\ S_5= \frac{1}{120} \left(\Psi _1^5+10 \Psi _1^3 \Psi _2+15 \Psi _1 \Psi _2^2+20 \Psi _1^2 \Psi _3+20 \Psi _2 \Psi _3+30 \Psi _1 \Psi _4+24 \Psi _5\right)\\ \cdots \end{array} \]

슈르 다항식

• 슈르 다항식(Schur polynomial) \(s_{\lambda}\)에 대하여 \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)이 성립한다
• 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4=x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)\]

메모

• http://mathoverflow.net/questions/98043/is-complete-homogeneous-symmetric-polynomials-an-irreducibile-element-in-polynom

관련된 항목들

• 동차다항식(Homogeneous polynomial)
• 중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)
• 슈르 다항식(Schur polynomial)
• 대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYU1ZTko2dGxYS1U/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/6611/any-efficient-way-to-make-complete-homogeneous-symmetric-functions-in-mathematic

수학용어번역

• 완전, 완비, complete - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_homogeneous_symmetric_polynomial

메타데이터

위키데이터

• ID : Q5156499

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'complete'}, {'LOWER': 'homogeneous'}, {'LOWER': 'symmetric'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]