"리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:30 기준 최신판

개요

종수가 \(g\)인 컴팩트 리만 곡면 \(X\)의 주기 행렬은 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)의 원소로 주어짐

\[ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} \]

타원곡선의 주기는 \(g=1\)인 경우에 해당한다

주기 행렬

다음을 만족하는 \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 \(a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g\)이 존재 (canonical homology basis)

\[ \langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} \]

즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다

\[ \begin{array}{c|cc} \text{} & a& b \\ \hline a & 0 & I_g \\ b & -I_g & 0 \end{array} \]

다음을 만족하는 \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)의 기저, holomorphic 1-form \(\omega_1,\cdots,\omega_{g}\)가 존재

\[ \int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} \]

\(\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j\)로 두면, \(\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}\)는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계)

\(\tau^{\mathrm{T}}=\tau\)
\(\textrm{Im}(\tau)\)는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)

즉, \(\tau\)는 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)의 원소이며, \(X\)의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다

\(g=3\) 인 경우

\[ \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & \left\langle a_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _1\right\rangle \\ \omega _2 & \left\langle a_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _2\right\rangle \\ \omega _3 & \left\langle a_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _3\right\rangle \end{array} = \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & 1 & 0 & 0 & \tau _{1,1} & \tau _{1,2} & \tau _{1,3} \\ \omega _2 & 0 & 1 & 0 & \tau _{2,1} & \tau _{2,2} & \tau _{2,3} \\ \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} \end{array} \] 여기서 \(\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega\)

예

클라인의 4차곡선의 경우, \(g=3\)인 곡선
주기 행렬은 다음과 같이 주어진다

\[ \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} \rho & 1 & 1 \\ 1 & \rho & 1 \\ 1 & 1 & \rho \\ \end{array} \right) \] 여기서 \(\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\).

클라인 4차곡선의 주기 행렬 참조

메모

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_bilinear_relations
http://mathoverflow.net/questions/22286/intuition-behind-riemanns-bilinear-relations
http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/ThetaConst.pdf
http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1402
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/sem/html/home/notes/99/course.pdf
\(\omega_i\in \Omega^{1,0}\)
\((\omega_k,\omega_l)=i\int_{X} \omega_k \wedge \omega_l=0\)
\(\omega\neq 0\)
\((\omega,\bar{\omega})=i\int_{X} \omega \wedge \bar{\omega}>0\)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxV1RCbzVJYWUwOEU/edit
RiemannCycles
- Some tools for working on homology cycles for Riemann surfaces presented in an algebraic manner
Maple
- http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=algcurves/periodmatrix
- http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=algcurves/homology
http://iml.univ-mrs.fr/ati/GeoCrypt2011/slides/molin.pdf‎

리뷰논문, 에세이, 강의노트

James Carlson and Phillip Griffiths What is...a period domain?, December 2008
Beginning compact Riemann surface theory

메타데이터

위키데이터

ID : Q5985807

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'riemann'}, {'LEMMA': 'form'}]

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 ==개요==
-* $X$ : 종수가 $g$인 컴팩트 리만 곡면
+* 종수가 <math>g</math>인 컴팩트 리만 곡면 <math>X</math>의 주기 행렬은 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>의 원소로 주어짐
-* 다음을 만족하는 <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 <math>a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g</math>이 존재
+:<math>
-$$
+\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\}
+</math>
+* [[타원곡선의 주기]]는 <math>g=1</math>인 경우에 해당한다
+==주기 행렬==
+* 다음을 만족하는 <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 <math>a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g</math>이 존재 (canonical homology basis)
+:<math>
 \langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases}
-$$
+</math>
-* 다음을 만족하는 <math>H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g</math>의 기저, holomorphic 1-form $\omega_1,\cdots,\omega_{g}$가 존재
+* 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다
-$$
+:<math>
+\begin{array}{c|cc}
+ \text{} & a&  b  \\
+\hline
+ a & 0 & I_g \\
+ b & -I_g & 0
+\end{array}
+</math>
+* 다음을 만족하는 <math>H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g</math>의 기저, holomorphic 1-form <math>\omega_1,\cdots,\omega_{g}</math>가 존재
+:<math>
 \int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij}
-$$
+</math>
-* 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\}$
+* <math>\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j</math>로 두면, <math>\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}</math>는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계)
-* $\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j$로 두면, $\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}$는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$의 원소이며, $X$의 period 행렬이라 부른다
+# <math>\tau^{\mathrm{T}}=\tau</math>
-* $g=3$ 인 경우
+# <math>\textrm{Im}(\tau)</math>는 [[양의 정부호 행렬(positive definite matrix)]]
-$$
+* 즉, <math>\tau</math>는 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>의 원소이며, <math>X</math>의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다
+===<math>g=3</math> 인 경우===
+:<math>
 \begin{array}{c|ccc|ccc}
   \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\
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   \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3}
 \end{array}
-$$
+</math>
-여기서 $\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega$
+여기서 <math>\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega</math>
 ==예==
-* [[클라인의 4차곡선]]의 경우, $g=3$인 곡선
+* [[클라인의 4차곡선]]의 경우, <math>g=3</math>인 곡선
 * 주기 행렬은 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{2} \left(
 \begin{array}{ccc}
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 \end{array}
 \right)
-$$
+</math>
-여기서 $\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}$.
+여기서 <math>\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}</math>.
+* [[클라인 4차곡선의 주기 행렬]] 참조
@@ 62번째 줄: / 82번째 줄: @@
 * [[사교 행렬]]
 * [[아벨-야코비 정리]]
+* [[주기 (period)]]
@@ 69번째 줄: / 90번째 줄: @@
 * [http://gitorious.org/riemanncycles RiemannCycles]
 ** Some tools for working on homology cycles for Riemann surfaces presented in an algebraic manner
-* http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=algcurves/periodmatrix
+* Maple
+** http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=algcurves/periodmatrix
+** http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=algcurves/homology
 * http://iml.univ-mrs.fr/ati/GeoCrypt2011/slides/molin.pdf‎
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 ==관련논문==
 * Braden, Harry W., and Timothy P. Northover. 2012. “Bring’s Curve: Its Period Matrix and the Vector of Riemann Constants”. ArXiv e-print 1206.6004. http://arxiv.org/abs/1206.6004.
+* Deconinck, Bernard, and Mark van Hoeij. 2001. “Computing Riemann Matrices of Algebraic Curves.” Physica D. Nonlinear Phenomena 152/153: 28–46. doi:10.1016/S0167-2789(01)00156-7.
+* Tretkoff, C. L., and M. D. Tretkoff. 1984. “Combinatorial Group Theory, Riemann Surfaces and Differential Equations.” In Contributions to Group Theory, 33:467–519. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=767125.
 [[분류:리만곡면론]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q5985807 Q5985807]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'riemann'}, {'LEMMA': 'form'}]