"히포크라테스의 초승달"의 두 판 사이의 차이

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* 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
 
* 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
 
* 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
 
* 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
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* [[작도문제와 구적가능성]] 에서 간략하게 소개되어 있음
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==히포크라테스의 초승달==
 
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* 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.
 
* 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.
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어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다
 
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* 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용
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* 구적가능한 초승달은 다음의 다섯 가지 경우밖에 없음.
 
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* 그림의 u값은 두 부채꼴의 중심각의 비율임.
 
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* 증명은 아래의 [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B7GWY-4GWPPT5-6&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=857f6cab2083c820cc4307f5d47f3a51 Hippocrates' lunes and transcendence] 를 참조할 것.
 
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* 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
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* 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능
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u=3/2,5/3,2,3,5
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* 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 <math>\sin \theta</math>가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다
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\left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u
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* 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함
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===<math>u=3/2</math>===
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* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots</math>
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* 두 부채꼴의 각도 : <math>160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}</math>
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[[파일:히포크라테스의 초승달1.png]]
  
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===<math>u=5/3</math>===
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* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots</math>
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* 두 부채꼴의 각도 : <math>167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}</math>
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[[파일:히포크라테스의 초승달2.png]]
  
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===<math>u=2</math>===
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* 초승달의 넓이: <math>1</math>
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* 두 부채꼴의 각도 : <math>180^{\circ}, 90^{\circ}</math>
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==관련된 단원==
 
  
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* 작도
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===<math>u=3</math>===
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* 초승달의 넓이: <math>\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots</math>
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* 두 부채꼴의 각도 : <math>205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}</math>
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===<math>u=5</math>===
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* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots</math>
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* 두 부채꼴의 각도 : <math>234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}</math>
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[[파일:히포크라테스의 초승달5.png]]
  
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
 
  
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* [[추상대수학]]
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* [[추상대수학의 토픽들]]
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[서로 만나는 두 원이 이루는 각도]]
 
* [[갈루아 이론]]
 
* [[갈루아 이론]]
 
* [[피타고라스의 정리]]
 
* [[피타고라스의 정리]]
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* [[베이커의 정리]]
 
* [[베이커의 정리]]
  
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===관련된 고교수학 또는 대학수학===
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* [[추상대수학]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZktyNmVoQkJTNzg/edit
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==사전형태의 자료==
 
==사전형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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* [http://www.amazon.com/Journey-through-Genius-Theorems-Mathematics/dp/014014739X Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics]<br>
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* [http://www.amazon.com/Journey-through-Genius-Theorems-Mathematics/dp/014014739X Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics]
 
** Chapter 1. Hippocrates' Quadrature of the Lune
 
** Chapter 1. Hippocrates' Quadrature of the Lune
 
** William Dunham
 
** William Dunham
  
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==관련논문==
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm The Five Squarable Lunes]
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* Postnikov, M. M., and Abe Shenitzer. 2000. “The Problem of Squarable Lunes.” The American Mathematical Monthly 107 (7) (August 1): 645–651. http://dx.doi.org/10.2307/2589121
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* Girstmair, Kurt. 2003. “Hippocrates’ Lunes and Transcendence.” Expositiones Mathematicae 21 (2): 179–183. http://dx.doi.org/10.1016/S0723-0869(03)80018-X
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* [http://www.math.leidenuniv.nl/%7Ehwl/papers/cheb.pdf Chebotarev and his density theorem] P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2589121 The Problem of Squarable Lunes]<br>
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[[분류:작도]]
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** M. M. Postnikov and Abe Shenitzer, <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=amermathmont The American Mathematical Monthly]</cite>, Vol. 107, No. 7 (Aug. - Sep., 2000), pp. 645-651
 
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* [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B7GWY-4GWPPT5-6&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=857f6cab2083c820cc4307f5d47f3a51 Hippocrates' lunes and transcendence]<br>
 
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** Kurt Girstmair, Expositiones Mathematicae Volume 21, Issue 2, 2003, Pages 179-183
 
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* [http://www.math.leidenuniv.nl/%7Ehwl/papers/cheb.pdf Chebotarev and his density theorem]<br>
 
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** P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr\n[[분류:작도]]
 
 
[[분류:중학수학]]
 
[[분류:중학수학]]
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[[분류:원주율]]
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[[분류:추상대수학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q312629 Q312629]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hippocrates'}, {'LOWER': 'of'}, {'LEMMA': 'chio'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:30 기준 최신판

작도와 구적가능성

  • 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
  • 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
  • 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음



히포크라테스의 초승달

  • 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

2981558-hippocrates.jpg

정리

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

  • 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용



구적가능한 초승달

  • 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
  • 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능

\[ u=3/2,5/3,2,3,5 \]

  • 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 \(\sin \theta\)가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다

\[ \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u \]

  • 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함

\(u=3/2\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달1.png


\(u=5/3\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달2.png


\(u=2\)

  • 초승달의 넓이\[1\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[180^{\circ}, 90^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달3.png


\(u=3\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달4.png


\(u=5\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달5.png



관련된 항목들


관련된 고교수학 또는 대학수학


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


관련도서


리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hippocrates'}, {'LOWER': 'of'}, {'LEMMA': 'chio'}]
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