"다이로그 함수(dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* dilogarithm 함수는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨<br><math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
+
* [[폴리로그 함수(polylogarithm)|폴리로그 함수(poylogarithm)]]의 하나인 special 함수이다.
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*  다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능<br><math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math><br>
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* 오일러, 로바체프스키, 아벨 등에 의하여 연구되었다.
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* 정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 현대수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.
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* [[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|Pochhammer 기호]] <math>(q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)</math> 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다.
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* 모든 [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
  
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<h5>단위원에서의 실수부와 허수부</h5>
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==정의==
  
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<math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일 때,
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*  다이로그 함수는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨:<math>\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
 +
*  다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능:<math>\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math>
  
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<math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math>
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<math>\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}</math>
+
  
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<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>
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==함수의 그래프==
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[[파일:다이로그 함수(dilogarithm)1.gif]]
  
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[[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조
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<h5>여러가지 항등식</h5>
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==단위원에서의 실수부와 허수부==
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* <math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일 때,:<math>\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math>:<math>\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}</math>:<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_ 2(\theta)</math>
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조
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==여러가지 항등식==
  
 
* 오일러의 반사공식
 
* 오일러의 반사공식
  
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<math>\mbox{Li}_2 \left(x \right)+\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)=  \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)</math>, <math>0<x<1</math>
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<math>\mbox{Li}_ 2 \left(x \right)+\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)=  \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)</math>, <math>0<x<1</math>
  
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*  반전공식<br><math>\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)</math><br>
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*  반전공식:<math>\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)</math>
 
* 란덴의 항등식
 
* 란덴의 항등식
  
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<math>\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)</math> 또는
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<math>\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)</math> 또는
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<math>\mbox{Li}_ 2(1-x)+\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)</math>
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*  여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음:<math>\mbox{Li}_ 2(x)</math>,<math>\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)</math>,  <math>\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)</math>, <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)</math>,<math>-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)</math> , <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)</math>
 +
* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]], [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|Bloch-Wigner dilogarithm]] 항목들을 참조
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<math>\mbox{Li}_2(1-x)+\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)</math>
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==곱셈공식==
  
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*  제곱공식:<math>\mbox{Li}_ 2(x^2)=2(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x))</math>:<math>\frac{1}{2}\mbox{Li}_ 2(x^2)=\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x)</math>
 +
*  일반적인 곱셈공식:<math>\frac{1}{n} \operatorname{Li}_ 2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_ 2\left(e^{2\pi i k/n}z \right)</math>
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*  실수부와 허수부에 대한 덧셈공식:<math>f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}</math>:<math>Cl_ 2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math> 다음 덧셈공식을 만족시킴:<math>f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math>:<math>Cl_ 2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_ 2(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math>
  
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<h5>곱셈공식</h5>
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]의 덧셈공식 참조
  
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* 제곱공식<br><math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math><br><math>\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)=\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x)</math><br>
+
   
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*  일반적인 곱셈공식<br><math>\frac{1}{n} \operatorname{Li}_2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_2\left(e^{2\pi i k/n}z\right)</math><br>
 
  
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==5항 관계식 (5-term relation)==
  
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*  5항 관계식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.:<math>\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})</math>
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* [[5항 관계식 (5-term relation)]] 항목 참조
  
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<h5>Special values</h5>
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−
* 다음 여덟 경우만이 알려져 있음.
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==Special values==
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* 다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다
  
 
<math>\mbox{Li}_{2}(0)=0</math>
 
<math>\mbox{Li}_{2}(0)=0</math>
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
 
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
  
−
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
+
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
  
 +
* 구체적인 계산은 [[다이로그 함수의 special value 계산]] 항목 참조
 
* [[황금비]]
 
* [[황금비]]
  
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+
==다이로그 항등식==
  
−
 
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*  다이로그 함수를 약간 변형한 [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)|로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)]]:<math>L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy</math>
 +
*  대수적수 <math>x_i</math>와 유리수 <math>c</math>에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 다이로그 항등식이라 한다:<math>\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)</math>
 +
* 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
 +
* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]  항목 참조
  
−
<h5>special value의 계산</h5>
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* <math>\mbox{Li}_{2}(-1)</math> 의 계산<br>
+
  
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반전공식에 <math>x=-1</math> 을 대입하여 얻을 수 있다.
+
==Pochhammer 기호와의 관계==
  
−
 
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* [[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|Pochhammer 기호]]:<math>(q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)</math>
 +
*  로그를 취한뒤 적분을 통해 근사하면 다음을 얻는다:<math>\int_{0}^{n}\log (1-q^{t})\,dt=\frac{1}{\log q}\int_{1}^{q^{n}}\log (1-x)\,\frac{dx}{x}=\frac{1}{\log q}(\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(q^{n}))</math>
  
−
* <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})</math> 의 계산<br>
+
  
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오일러의 반사공식에서 <math>x=\frac{1}{2}</math> 를 대입하여 얻을 수 있다.
+
  
−
또는 
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==재미있는 사실==
  
−
<math>\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math> 와 
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* Don Zagier
  
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<math>\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
+
<blockquote>
−
 
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The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.
−
를 이용하여 보일 수 있다.
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</blockquote>
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* <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math> 과 <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산<br>
 
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오일러의 반사공식에 <math>x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
 
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math>
 
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란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.
 
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<math>\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2</math>
 
−
 
 
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여기에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
 
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<math>\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
 
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이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다. 
+
  
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* <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
+
  
−
제곱공식<math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math> 에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> 를 대입하면, 
+
  
−
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))</math> 를 얻는다.
+
==역사==
  
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*  1696 Leibniz
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*  1776 Euler
 +
*  1809 W. Spence, an essay on logarithmic transcendents
 +
*  1828 Abel
 +
*  1840 Kummer
 +
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=dilogarithm
 +
* [[수학사 연표]]
  
−
 
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* <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
+
  
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반전공식에 <math>x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math>를 대입하면, <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> 를 얻는다.
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==관련된 항목들==
  
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<h5>다른 special values</h5>
 
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<math>2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}</math>
 
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(증명)
 
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<math>\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}</math>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* Don Zagier
 
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The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
 
* [[황금비]]
 
* [[황금비]]
 
* [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
 
* [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
188번째 줄: 157번째 줄:
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+
==수학용어번역==
  
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*  제안용어<br>
+
*  제안용어
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** 쌍로그, 이중로그 ??
+
** 다이로그, 쌍로그, 이중로그 ??
 
* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=di http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=di]
 
* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=di http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=di]
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=5<br>
+
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=5
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=dilogarithm
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=dilogarithm
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYXZHTWtTSFhHT2M/edit
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
+
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
* M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions.
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
** [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/page_1004.htm http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1004.htm]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+
==관련도서==
  
−
*  Frontiers in number theory, physics, and geometry II<br>
+
*  Frontiers in number theory, physics, and geometry II
 
** Cartier P., Julia B., Moussa P., Vanhove P.
 
** Cartier P., Julia B., Moussa P., Vanhove P.
−
* Polylogarithms and associated functions<br>
+
* [http://books.google.com/books?id=u_UVn_iquj0C Structural properties of polylogarithms]
−
** Lewin L
+
** Leonard Lewin
−
*  도서내검색<br>
+
*  Polylogarithms and associated functions
−
** http://books.google.com/books?q=
+
** Leonard Lewin
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
  
−
* [http://dx.doi.org/10.1143/PTPS.118.61 Dilogarithm identities]<br>
+
−
** Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
 
−
*  
 
  
−
 
+
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 +
* Don Zagier [http://vod.mathnet.or.kr/sub2_2.php?no=2326&key_year=x&key_name=zagier The dilogarithm in number theory and geometry]
 +
** 2012년 4월, 동영상 강의
 +
* [http://www.stephenwolfram.com/publications/recent/specialfunctions/ The History and Future of Special Functions] Stephen Wolfram, 2005
 +
* Don Zagier [http://maths.dur.ac.uk/%7Edma0hg/dilog.pdf The Dilogarithm Function]
 +
* Anatol N. Kirillov [http://dx.doi.org/10.1143/PTPS.118.61 Dilogarithm identities],Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
  
−
<h5>블로그</h5>
+
==관련논문==
 +
* O’Sullivan, Cormac. “Zeros of the Dilogarithm.” arXiv:1507.07980 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07980.
 +
* Broadhurst, David. ‘Tests of Conjectures on Multiple Watson Values’. arXiv:1504.08007 [hep-Th], 29 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.08007.
 +
* Leonard C. Maximon [http://www.jstor.org/stable/3560126 The Dilogarithm Function for Complex Argument], Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 459, No. 2039 (Nov. 8, 2003)
  
−
* [http://sos440.tistory.com/83 오늘의 계산 12]<br>
+
[[분류:다이로그]]
−
** 수학 잡담/오늘의 계산, 2008/08/10
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[[분류:특수함수]]
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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==메타데이터==
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1238449 Q1238449]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:01 기준 최신판

개요

  • 폴리로그 함수(poylogarithm)의 하나인 special 함수이다.
  • 오일러, 로바체프스키, 아벨 등에 의하여 연구되었다.
  • 정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 현대수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.
  • Pochhammer 기호 \((q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\) 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다.
  • 모든 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다



정의

  • 다이로그 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨\[\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • 다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \] for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)



함수의 그래프

다이로그 함수(dilogarithm)1.gif




단위원에서의 실수부와 허수부

  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일 때,\[\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_ 2(\theta)\]
  • 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조



여러가지 항등식

  • 오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_ 2 \left(x \right)+\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\), \(0<x<1\)

  • 반전공식\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)\]
  • 란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)\) 또는

\(\mbox{Li}_ 2(1-x)+\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)\)

  • 여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음\[\mbox{Li}_ 2(x)\],\(\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
  • 사영기하학과 교차비, Bloch-Wigner dilogarithm 항목들을 참조



곱셈공식

  • 제곱공식\[\mbox{Li}_ 2(x^2)=2(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x))\]\[\frac{1}{2}\mbox{Li}_ 2(x^2)=\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x)\]
  • 일반적인 곱셈공식\[\frac{1}{n} \operatorname{Li}_ 2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_ 2\left(e^{2\pi i k/n}z \right)\]
  • 실수부와 허수부에 대한 덧셈공식\[f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\]\[Cl_ 2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\] 다음 덧셈공식을 만족시킴\[f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})\]\[Cl_ 2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_ 2(\theta+\frac{2k\pi}{n})\]



5항 관계식 (5-term relation)

  • 5항 관계식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\]
  • 5항 관계식 (5-term relation) 항목 참조


Special values

  • 다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

다이로그 항등식

  • 다이로그 함수를 약간 변형한 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\]
  • 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 다이로그 항등식이라 한다\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]
  • 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
  • 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 항목 참조



Pochhammer 기호와의 관계

  • Pochhammer 기호\[(q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\]
  • 로그를 취한뒤 적분을 통해 근사하면 다음을 얻는다\[\int_{0}^{n}\log (1-q^{t})\,dt=\frac{1}{\log q}\int_{1}^{q^{n}}\log (1-x)\,\frac{dx}{x}=\frac{1}{\log q}(\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(q^{n}))\]



재미있는 사실

  • Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.




역사



관련된 항목들



수학용어번역




매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



관련도서

  • Frontiers in number theory, physics, and geometry II
    • Cartier P., Julia B., Moussa P., Vanhove P.
  • Structural properties of polylogarithms
    • Leonard Lewin
  • Polylogarithms and associated functions
    • Leonard Lewin



리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

메타데이터

위키데이터

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  • [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]
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