"무리수와 디오판투스 근사"의 두 판 사이의 차이
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation | * http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation | ||
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| + | * [http://people.math.jussieu.fr/%7Emiw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf Diophantine Approximation: historical survey] | ||
** From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt. | ** From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt. | ||
| − | ** [http://www.math.jussieu.fr/ | + | ** [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence] |
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Morales-Almazan, Pedro. “A Geometrical Approach to Measure Irrationality.” arXiv:1511.09037 [math], November 29, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.09037. | ||
| + | * Zudilin, Wadim. “A Determinantal Approach to Irrationality.” arXiv:1507.05697 [math], July 20, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05697. | ||
| + | * Maculan, Marco. “Geometric Invariant Theory and Roth’s Theorem.” arXiv:1305.0926 [math], May 4, 2013. http://arxiv.org/abs/1305.0926. | ||
| − | + | [[분류:무리수와 초월수]] | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1227061 Q1227061] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}] |
2021년 2월 17일 (수) 04:43 기준 최신판
개요
- 슬로건
- 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
- 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다
유리수의 성질
- \(\alpha\)가 유리수라고 하자. 적당한 정수 \(q_0>0\)가 존재하여, 모든 \(p,q>0\in \mathbb{Z}\)에 대하여, 다음 부등식이 성립한다
\[ |\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} \]
디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)
- 디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)에서 가져옴 무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\]
는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.
- 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\] 는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
- 연분수 항목 참조
무리수 판정
- 모든 n에 대하여, \(\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha\), \(q_n>0\)이고,
\[\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty\] 인 유리수열 \(\{\frac{p_n}{q_n}\}\)이, 적당한 \(\delta>0\)에 대하여 부등식 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\]을 만족하면, \(\alpha\)는 무리수이다
증명
\(\alpha\)가 유리수이면, \[\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0\] 이 성립한다. 한편 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}\] 이고, \(n\to \infty\) 일 때, \(\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0\)이므로 모순.
리우빌 수
- 정리 (리우빌,1844)
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다
Thue-Siegel-Roth 정리
- 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]
을 만족시키는 유리수 \(p/q\) 의 개수는 유한하다
역사
- 1844 리우빌
- 1909 Thue
- 1921 지겔
- 1955 Roth (1958년 필즈메달)
- 수학사 연표
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
리뷰, 에세이, 강의노트
- Diophantine Approximation: historical survey
- From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
- Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
관련논문
- Morales-Almazan, Pedro. “A Geometrical Approach to Measure Irrationality.” arXiv:1511.09037 [math], November 29, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.09037.
- Zudilin, Wadim. “A Determinantal Approach to Irrationality.” arXiv:1507.05697 [math], July 20, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05697.
- Maculan, Marco. “Geometric Invariant Theory and Roth’s Theorem.” arXiv:1305.0926 [math], May 4, 2013. http://arxiv.org/abs/1305.0926.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1227061
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}]