"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다.
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* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
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* 생각할 거리가 풍부한 좋은 수학 문제.
+
* 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
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*  수학자 가우스도 소년 시절에 이를 열심히 공부했음.<br>
+
** 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
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*  수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
 
** [[가우스와 순환소수]]
 
** [[가우스와 순환소수]]
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* [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]을 함께 참고
  
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<h5>0.142857142857...</h5>
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==142857의 여러가지 성질==
  
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* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%20%3D%200.142857142857%5Ccdots ]
+
* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
−
* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
+
* 142857 X 7 = 999999
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* 142857 X 7 = 999999
+
* 142 + 857 = 999
−
* 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99
+
* 14 + 28 + 57 = 99
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*  이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다:<math>1/7=0.142857142857\cdots</math>
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* [['142857의 신비' 해설|142857의 성질과 해설]]
  
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<h5>순환마디의 길이</h5>
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==순환마디의 길이==
  
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* <math>1\over n</math> 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
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* <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
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* n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자.
+
* n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
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* 원소 10의 군  <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로 <math>1\over n</math> 의 순환마디의 길이가 됨<br>
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* <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다
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** 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조
+
* 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군  <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로 <math>1/n</math>의 순환마디의 길이가 됨
−
* 다시 말하자면, <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다
+
* [[오일러의 totient 함수]] 의 순환마디의 길이는 <math>\varphi(n)</math> 를 나누게 된다
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* 군 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조
  
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<h5>관찰</h5>
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==순환마디를 얻는 과정의 이해==
  
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<math>\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots</math> 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.
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* <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정
  
  
  
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*  주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1
−
 
+
* 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
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여러분이 지금부터 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 
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* 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
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1,3,2,6,4,5, 그리고 1
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* 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
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* 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견
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이다. 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있다. 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
 
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빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5,1가 어떻게 해서 얻어진 것인지를 한번 따져보자. 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견하게 된다.
 
  
 
<math>10^0 \equiv 1 \pmod 7</math>
 
<math>10^0 \equiv 1 \pmod 7</math>
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<math>10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7</math>
 
<math>10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7</math>
  
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<math>10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7</math><br><math>10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7</math><br><math>10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7</math><br><math>10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7</math>
+
<math>10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7</math>
  
−
 
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<math>10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7</math>
  
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1,3,2,6,4,5,1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지임을 알 수 있다.
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<math>10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7</math>
  
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<math>10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7</math>
  
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* 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다
  
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==== 하위페이지 ====
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* [[분수와 순환소수]]<br>
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** [[가우스와 순환소수]]<br>
 
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** [[순환소수에 대한 아틴의 추측]]<br>
 
  
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==cyclic numbers==
  
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10.]
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* [[cyclic numbers]]
  
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<h5>관련된 단원</h5>
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==== 하위페이지 ====
  
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* [[분수와 순환소수]]
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** [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]
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** [[cyclic numbers]]
 +
** [[가우스와 순환소수]]
 +
** [[미디의 정리(Midy's theorem)]]
 +
** [[순환소수에 대한 아틴의 추측]]
 +
** [[순환소수와 class number]]
  
−
<h5>많이 나오는 질문</h5>
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* 네이버 지식인<br>
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** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=순환소수]
 
  
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−
<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
+
==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
 
* 유리수
 
* 유리수
−
*  정수<br>
+
*  정수
 
** 약수와 배수
 
** 약수와 배수
−
* 합동식, 잉여류, 뿌리근, 이차잉여, 이차형식
+
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)|합동식]], 잉여류, [[원시근(primitive root)|원시근]], [[이차잉여의 상호법칙|이차잉여]], [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|이차형식]]
−
* [[초등정수론]]<br>
+
* [[초등정수론]]
 
** 오일러-페르마 정리
 
** 오일러-페르마 정리
−
* [[추상대수학]]<br>
+
* [[추상대수학]]
 
** 순환군
 
** 순환군
  
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−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들==
  
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
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* [[원시근(primitive root)]]
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* [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic analysis]]
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
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*  Higher mathematics from elementary point of view<br>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction
−
** Hans Rademacher
 
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** Chapter 5. Decimal Fractions ([[1979584/attachments/1370998|pdf]])
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==관련도서==
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* Higher mathematics from elementary point of view
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* http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction<br>
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** Hans Rademacher
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** Chapter 5. Decimal Fractions ([[1979584/attachments/1370998|pdf]])
  
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<h5>관련기사</h5>
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==관련논문==
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* Bantchev, Boyko B. “Fraction Space Revisited.” arXiv:1507.03952 [math], July 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03952.
 +
*  Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
 +
* [http://www.jstor.org/stable/3026586 The Alluring Lore of Cyclic Numbers]
 +
** Michael W. Ecker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109
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* [[#%20Fractions%20with%20Cycling%20Digit%20Patterns%20#%20Dan%20Kalman%20#%20The%20College%20Mathematics%20Journal,%20Vol.%2027,%20No.%202%20%28Mar.,%201996%29,%20pp.%20109-115%20|Fractions with Cycling Digit Patterns]]
 +
** Dan Kalman, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115
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* [http://www.jstor.org/stable/2686394 Repeating Decimals]
 +
** W. G. Leavitt, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308
  
−
네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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==관련기사==
  
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* [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=순환소수]
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=순환소수]
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=142857
−
* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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<h5>블로그</h5>
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==블로그==
  
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*  142857의 신비 (피타고라스의 창)<br>
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*  142857의 신비 (피타고라스의 창)
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/02/726 142857와 군론의 만남(1)]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/02/726 142857와 군론의 만남(1)]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 142857와 군론의 만남(2)]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 142857와 군론의 만남(2)]
159번째 줄: 165번째 줄:
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/06/733 142857와 군론의 만남(5) : 둘이 함께 추는 춤]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/06/733 142857와 군론의 만남(5) : 둘이 함께 추는 춤]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/08/735 142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적]
 
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/08/735 142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적]
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=142857
−
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
+
[[분류:중학수학]]
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[[분류:중학수학]]
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<h5>이미지 검색</h5>
 
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
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* http://images.google.com/images?q=
 
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* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
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<h5>동영상</h5>
 
  
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
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==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q81365 Q81365]
 +
===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'decimal'}]
 +
* [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': 'ten'}]
 +
* [{'LEMMA': 'denary'}]
 +
* [{'LOWER': 'decimal'}, {'LOWER': 'numeral'}, {'LEMMA': 'system'}]
 +
* [{'LOWER': 'decimal'}, {'LEMMA': 'system'}]
 +
* [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': '10'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

개요

  • 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
  • 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
    • 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
  • 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
  • 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고



142857의 여러가지 성질

  • 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
  • 142857 X 7 = 999999
  • 142 + 857 = 999
  • 14 + 28 + 57 = 99
  • 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다\[1/7=0.142857142857\cdots\]
  • 142857의 성질과 해설



순환마디의 길이

  • \(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
  • n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
  • \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
  • 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
  • 오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 \(\varphi(n)\) 를 나누게 된다
  • 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조



순환마디를 얻는 과정의 이해

  • \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정


  • 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1
  • 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
  • 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
  • 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
  • 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견

\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)

\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)

\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)

\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)

\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)

\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)

\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)

  • 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다



cyclic numbers



하위페이지




관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



사전 형태의 자료


관련도서

  • Higher mathematics from elementary point of view
    • Hans Rademacher
    • Chapter 5. Decimal Fractions (pdf)



관련논문

관련기사



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'decimal'}]
  • [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': 'ten'}]
  • [{'LEMMA': 'denary'}]
  • [{'LOWER': 'decimal'}, {'LOWER': 'numeral'}, {'LEMMA': 'system'}]
  • [{'LOWER': 'decimal'}, {'LEMMA': 'system'}]
  • [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': '10'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=분수와_순환소수&oldid=52316"