"수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식"의 두 판 사이의 차이
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* 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 :<math>V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 여기서 <math>k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}</math> | * 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 :<math>V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 여기서 <math>k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}</math> | ||
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| − | * 전자의 파동함수 | + | * 전자의 파동함수 <math>\psi_{E}(x,y,z)</math>가 만족시키는 방정식, 즉 [[슈뢰딩거 방정식]] 을 쓰면, 해밀토니안 <math>\hat{H}</math>의 고유값 <math>E</math> 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다 |
| − | :<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E}</math> | + | :<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} |
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| − | :<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{ | + | :<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math> |
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==구면좌표계와 변수분리== | ==구면좌표계와 변수분리== | ||
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| − | :<math>\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math> 여기서:<math>\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} | + | :<math>\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math> 여기서 |
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| + | * \ref{ei}를 만족하는 파동함수 <math>\psi_{E}</math>가 변수분리된 형태, 즉 <math>\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다 | ||
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| + | * [[구면조화함수(spherical harmonics)]] <math>Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>는 연산자 <math>\Delta_{S^2}</math>의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math>이다. 즉, 다음을 만족한다 | ||
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| + | * 파동함수가 <math>\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다 | ||
| + | :<math>\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)</math> | ||
| + | * 이를 다시 풀어쓰면, <math>f</math>는 다음을 만족한다 | ||
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| + | f''(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req} | ||
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| + | * 미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다 | ||
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| + | r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0 | ||
| + | </math> | ||
| + | 여기서 <math>a=\frac{2m}{\hbar^2}E</math>, <math>b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2</math> | ||
==양자 수와 교환자 관계식== | ==양자 수와 교환자 관계식== | ||
* 교환자 관계식 | * 교환자 관계식 | ||
| − | + | :<math> | |
[\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 | [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 | ||
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여기서 | 여기서 | ||
:<math>L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)</math> | :<math>L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)</math> | ||
:<math>L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }</math> | :<math>L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }</math> | ||
| − | * | + | * 양자수 |
| + | ** <math>n</math> : principal quantum number, <math>n=1,2\cdots, </math> | ||
| + | ** <math>\ell</math> : azimuthal quantum number, <math>0\le \ell \le n-1</math> | ||
| + | ** <math>m</math> : magnetic quantum number, <math>-\ell \le m \le \ell</math> | ||
| + | * <math>\hat{H}</math>의 고유벡터를 <math>|n,\ell,m\rangle</math>로 표현할 수 있다 | ||
| + | :<math>\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle </math> | ||
:<math> L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle </math> | :<math> L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle </math> | ||
:<math> L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle </math> | :<math> L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle </math> | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* [[각운동량의 양자 이론]] | * [[각운동량의 양자 이론]] | ||
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] | * [[구면조화함수(spherical harmonics)]] | ||
| − | * [[ | + | * [[스핀과 파울리의 배타원리]] |
| − | * [[ | + | * [[수소 원자와 디랙 방정식]] |
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYTdKS3dORTA5Yjg/edit | |
| − | + | * http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/ | |
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| − | == | ||
| + | ==사전 형태의 자료== | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results | ||
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[[분류:양자역학]] | [[분류:양자역학]] | ||
[[분류:수리물리학]] | [[분류:수리물리학]] | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6643508 Q6643508] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:48 기준 최신판
개요
- 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 보어의 수소 원자의 스펙트럼을 수학적으로 설명한다
- 스핀의 존재와 상대론적 효과는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다
- 수소 원자와 디랙 방정식
전자의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식
- 양성자와 전자로 구성된 시스템
- 전자의 질량 \(m_e\), 양성자의 질량 \(m_p\), 전하 \(e\)
- 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
- 해밀토니안
\[ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z) \] 여기서 \(\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\)는 라플라시안(Laplacian) 연산자, \(m=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e\) 는 환산질량 (reduced mass)
- 전자의 파동함수 \(\psi_{E}(x,y,z)\)가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 \(\hat{H}\)의 고유값 \(E\) 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다
\[ \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} \] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]
구면좌표계와 변수분리
- 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다
\[\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} \]
- \ref{ei}를 만족하는 파동함수 \(\psi_{E}\)가 변수분리된 형태, 즉 \(\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다
\[ \left\{ \begin{array}{c} \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi), \\ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \end{array} \right. \]
각 방정식
- 구면조화함수(spherical harmonics) \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)는 연산자 \(\Delta_{S^2}\)의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\)이다. 즉, 다음을 만족한다
\[\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\] 이 때, \(l=0,1,2,\cdots \)
지름 방정식
- 파동함수가 \(\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다
\[\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)\]
- 이를 다시 풀어쓰면, \(f\)는 다음을 만족한다
\[ f''(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req} \]
지름 방정식의 해
- 미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다
\[ r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0 \] 여기서 \(a=\frac{2m}{\hbar^2}E\), \(b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2\)
양자 수와 교환자 관계식
- 교환자 관계식
\[ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 \] 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]
- 양자수
- \(n\) : principal quantum number, \(n=1,2\cdots, \)
- \(\ell\) : azimuthal quantum number, \(0\le \ell \le n-1\)
- \(m\) : magnetic quantum number, \(-\ell \le m \le \ell\)
- \(\hat{H}\)의 고유벡터를 \(|n,\ell,m\rangle\)로 표현할 수 있다
\[\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle \] \[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYTdKS3dORTA5Yjg/edit
- http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q6643508
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}]