"양자 바일 대수와 양자평면"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 13개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴 | + | * <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴 |
* [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨 | * [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨 | ||
| − | * [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm) | + | * [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
==q-이항계수== | ==q-이항계수== | ||
| − | * 세 | + | * 세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의:<math>yx=qxy,xq=qx,yq=qy</math> |
* 다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math> | * 다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==하이젠베르크 대수와의 관계== | ==하이젠베르크 대수와의 관계== | ||
* [[하이젠베르크 군과 대수]] | * [[하이젠베르크 군과 대수]] | ||
| − | * 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 | + | * 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 <math>P,Q</math> |
| − | + | :<math> | |
[P,Q] = -i \hbar I | [P,Q] = -i \hbar I | ||
| − | + | </math> | |
* 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의 | * 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의 | ||
| − | + | :<math> | |
U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} | U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} | ||
| − | + | </math> | |
| − | * 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 | + | * 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 ([[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]) |
| − | + | :<math> | |
U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), | U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), | ||
| − | + | </math> | |
| − | + | :<math> | |
V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) | V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) | ||
| − | + | </math> | |
| − | + | :<math> | |
| − | U(\alpha)V(\beta)=e^{ | + | U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) |
| − | + | </math> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * <math>U(\alpha)=e^{i\alpha P}</math>, <math>V(\beta)=e^{i\alpha Q}</math>, <math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함 | |
| + | * 적당한 completion을 거쳐 바일 <math>C^{*}</math> 대수를 얻는다 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==realization== | |
| + | * <math>u,v</math>를 <math>x</math>를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{aligned} | ||
| + | uf(x)& :=&xf(x) \\ | ||
| + | vf(x)& :=&f(x/q) | ||
| + | \end{aligned} | ||
| + | </math> | ||
| + | * <math>(uvf)(x)=x f(x/q)</math> | ||
| + | * <math>q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)</math> | ||
| + | * 따라서 <math>uv=qvu</math> | ||
| − | |||
==메모== | ==메모== | ||
| − | |||
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| 65번째 줄: | 65번째 줄: | ||
* [[양자 조화진동자]] | * [[양자 조화진동자]] | ||
* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] | * [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] | ||
| − | + | * [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]] | |
| − | + | * [[비가환 대수]] | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [ | ||
| − | |||
| − | * [ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | ==사전 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_algebra | * http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_algebra | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | == | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | + | * Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601. | |
| + | * Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646. | ||
* Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052. | * Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052. | ||
| + | * Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” <em>Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)</em> 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054. | ||
| + | * Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074. | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| + | [[분류:q-급수]] | ||
| + | [[분류:리군과 리대수]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1069378 Q1069378] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:52 기준 최신판
개요
- \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
- 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
q-이항계수
- 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
- 다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]
하이젠베르크 대수와의 관계
- 하이젠베르크 군과 대수
- 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 \(P,Q\)
\[ [P,Q] = -i \hbar I \]
- 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의
\[ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} \]
- 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 (베이커-캠벨-하우스도르프 공식)
\[ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), \] \[ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) \] \[ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) \]
- \(U(\alpha)=e^{i\alpha P}\), \(V(\beta)=e^{i\alpha Q}\), \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
- 적당한 completion을 거쳐 바일 \(C^{*}\) 대수를 얻는다
realization
- \(u,v\)를 \(x\)를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
\[ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} \]
- \((uvf)(x)=x f(x/q)\)
- \(q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)\)
- 따라서 \(uv=qvu\)
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
관련논문
- Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
- Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
- Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
- Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
- Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1069378
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]