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* [[정칠각형]]
 
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==개요==
 
==개요==
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* 정칠각형에 관련된 여러 가지 수학적 주제의 이해
  
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=regular+heptagon+inscribed+in+a+unit+circle
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==정칠각형 꼭지점의 평면좌표==
 
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* 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
 
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* 방정식 <math>z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0</math><br> 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.<br>  <br>
 
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* 양변을 <math>z^3</math>으로 나누면, <math>z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0</math> 을 얻게됨.
 
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
 
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<math>z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0</math>
 
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[[3차 방정식의 근의 공식]]을 이용하여 방정식을 풀면,
 
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<math>y^3+y^2-2y-1=0</math>
 
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<math>y_1= \frac{1}{3} \left(-1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)(=2\cos\frac{2\pi}{7})</math>
 
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<math>y_2=-\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)} \left(\sqrt{3}+i\right)(=2\cos\frac{4\pi}{7})</math>
 
  
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<math>y_3=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{i 7^{2/3} \left(\sqrt{3}+i\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}(=2\cos\frac{6\pi}{7})</math>
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==정칠각형 꼭지점의 평면좌표==
  
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* 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 <math>(1,0)</math>으로 주어진 경우
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* 방정식 <math>z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
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<math>z^2-yz+1=0</math>
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* 양변을 <math>z^3</math>으로 나누면, <math>z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0</math> 을 얻게됨.
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* <math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
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<math>z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}</math>
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:<math>z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0</math>
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[[3차 방정식의 근의 공식]]을 이용하여 방정식 <math>y^3+y^2-2y-1=0</math>을 풀면, 다음을 얻는다
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:<math>y_1= \frac{1}{3} \left(-1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)(=2\cos\frac{2\pi}{7})</math>
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:<math>y_2=-\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)} \left(\sqrt{3}+i\right)(=2\cos\frac{4\pi}{7})</math>
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을 얻게 됨. 
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:<math>y_3=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{i 7^{2/3} \left(\sqrt{3}+i\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}(=2\cos\frac{6\pi}{7})</math>
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이제 <math>z^2-yz+1=0</math>로부터 <math>z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}</math>
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* 복소평면상에서 <math>z</math> 의 <math>x</math> 좌표는  로 주어짐.
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==정칠각형의 대각선의 길이==
 
==정칠각형의 대각선의 길이==
  
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*  한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이 $r_i$는 <math>i=0,1,\cdots,5</math>에 대하여 다음과 같이 주어짐 :<math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}</math> * 이 때 <math>r_0=1</math>, <math>r_5=1</math><br>[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]<br>
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*  한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이 <math>r_i</math>는 <math>i=0,1,\cdots,5</math>에 대하여 다음과 같이 주어짐 :<math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}</math> * 이 때 <math>r_0=1</math>, <math>r_5=1</math>[[파일:6782509-heptagon.png]]
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*  제2종 [[체비셰프 다항식]]<br>
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*  제2종 [[체비셰프 다항식]]
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*  대각선이 만족시키는 다양한 항등식<br><math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2</math><br><math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4</math><br><math>r_0r_0=r_0</math><br><math>r_1r_0=r_1</math><br><math>r_1r_1=r_0+r_2</math><br><math>r_2r_0=r_2</math><br><math>r_2r_1=r_1+r_3</math><br><math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4</math><br>
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*  대각선이 만족시키는 다양한 항등식:<math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2</math>:<math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4</math>:<math>r_0r_0=r_0</math>:<math>r_1r_0=r_1</math>:<math>r_1r_1=r_0+r_2</math>:<math>r_2r_0=r_2</math>:<math>r_2r_1=r_1+r_3</math>:<math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4</math>
  
 
* <math>r_1</math>은 <math>x^3-x^2-2x+1=0</math> 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%282pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29
 
* <math>r_1</math>은 <math>x^3-x^2-2x+1=0</math> 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%282pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29
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<math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1</math> ■
 
<math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1</math> ■
  
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==다이로그 항등식==
 
==다이로그 항등식==
  
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br><math>\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots</math><br><math>\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots</math><br><math>\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots</math><br><math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math><br><math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math><br><math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math><br><math>\sum_{i=1}^{5}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}\right)=\frac{5\pi^2}{14}</math><br>
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]:<math>\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots</math>:<math>\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots</math>:<math>\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots</math>:<math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math>:<math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math>:<math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math>:<math>\sum_{i=1}^{5}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}\right)=\frac{5\pi^2}{14}</math>
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*  방정식 <math>x^3+2x^2-x-1=0</math> 의 해 <math>\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}</math><br>
 
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*  방정식 <math>x^3+x^2-2x-1=0</math>의 해  <math>a,b,c</math><br>
 
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<math>a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots</math>,  <math>b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots</math>,<math>c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots</math>
 
  
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*  k=3인 경우의 [[앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)]]<br><math>1-x_{1}=x_{1}^{4}x_{2}^{2}</math><br><math>1-x_{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}</math>를 풀면,<br><math>x_{2}=1-\frac{1-x_{1}}{x_{1}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}-1}{x_{1}^{2}}</math><br><math>1-x_{1}=(x_{1}^{2}+x_{1}-1)^{2}</math> 따라서 <math>x_1</math>은 <math>x (x^3+2 x^2-x-1)=0</math>의 해가 된다<br>
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*  방정식 <math>x^3+2x^2-x-1=0</math> 의 해 <math>\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}</math>
  
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*  방정식 <math>x^3+x^2-2x-1=0</math>의 해  <math>a,b,c</math>
  
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<math>a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots</math>,  <math>b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots</math>,<math>c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots</math>
  
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==재미있는 사실==
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*  k=3인 경우의 [[앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)]]:<math>1-x_{1}=x_{1}^{4}x_{2}^{2}</math>:<math>1-x_{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}</math>를 풀면,:<math>x_{2}=1-\frac{1-x_{1}}{x_{1}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}-1}{x_{1}^{2}}</math>:<math>1-x_{1}=(x_{1}^{2}+x_{1}-1)^{2}</math> 따라서 <math>x_1</math>은 <math>x (x^3+2 x^2-x-1)=0</math>의 해가 된다
  
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
  
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==역사==
 
==역사==
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* [[수학사 연표]]
  
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
 
−
* [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모==
 
==메모==
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[톨레미의 정리]]
 
* [[톨레미의 정리]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=regular+heptagon+inscribed+in+a+unit+circle
  
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==수학용어번역==
 
  
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
 
  
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%A0%EA%B0%81%ED%98%95 http://ko.wikipedia.org/wiki/칠각형]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%A0%EA%B0%81%ED%98%95 http://ko.wikipedia.org/wiki/칠각형]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heptagon
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heptagon
−
* http://www.proofwiki.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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* [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]<br>
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* [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]
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** W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
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** W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
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* [http://www.jstor.org/stable/2691048 Golden Fields: A Case for the Heptagon]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2691048 Golden Fields: A Case for the Heptagon]
 
** Peter Steinbach, Mathematics Magazine Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 22-31
 
** Peter Steinbach, Mathematics Magazine Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 22-31
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* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-8.1.39 A Note on Spence's Logarithmic Transcendent]<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-8.1.39 A Note on Spence's Logarithmic Transcendent]
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** Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
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** Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
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* [http://www.jstor.org/stable/3605379 ABCDEFG Is a Regular Heptagon in a Circle of Unit Radius; To Prove That AC+AD-AB=√7]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/3605379 ABCDEFG Is a Regular Heptagon in a Circle of Unit Radius; To Prove That AC+AD-AB=√7]
 
** T. S. Tufton, The Mathematical Gazette Vol. 18, No. 230 (Oct., 1934), pp. 274-275
 
** T. S. Tufton, The Mathematical Gazette Vol. 18, No. 230 (Oct., 1934), pp. 274-275
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=heptagon
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=silver+constant
 
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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==링크==
 
  
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*  구글 블로그 검색<br>
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==메타데이터==
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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===위키데이터===
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q188866 Q188866]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
+
* [{'LEMMA': 'heptagon'}]
−
* [http://www.exampleproblems.com/ exampleproblems.com]
+
* [{'LEMMA': '7-gon'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:59 기준 최신판

개요

  • 정칠각형에 관련된 여러 가지 수학적 주제의 이해


정칠각형 꼭지점의 평면좌표

  • 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 \((1,0)\)으로 주어진 경우
  • 방정식 \(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
  • 양변을 \(z^3\)으로 나누면, \(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0\) 을 얻게됨.
  • \(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\[z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0\] 3차 방정식의 근의 공식을 이용하여 방정식 \(y^3+y^2-2y-1=0\)을 풀면, 다음을 얻는다 \[y_1= \frac{1}{3} \left(-1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)(=2\cos\frac{2\pi}{7})\] \[y_2=-\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)} \left(\sqrt{3}+i\right)(=2\cos\frac{4\pi}{7})\] \[y_3=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{i 7^{2/3} \left(\sqrt{3}+i\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}(=2\cos\frac{6\pi}{7})\] 이제 \(z^2-yz+1=0\)로부터 \(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)


정칠각형의 대각선의 길이

  • 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이 \(r_i\)는 \(i=0,1,\cdots,5\)에 대하여 다음과 같이 주어짐 \[r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}\] * 이 때 \(r_0=1\), \(r_5=1\)6782509-heptagon.png
  • 제2종 체비셰프 다항식
  • 대각선이 만족시키는 다양한 항등식\[r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2\]\[r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4\]\[r_0r_0=r_0\]\[r_1r_0=r_1\]\[r_1r_1=r_0+r_2\]\[r_2r_0=r_2\]\[r_2r_1=r_1+r_3\]\[r_2r_2=r_0+r_2+r_4\]

(증명)

\(r_1r_1=r_0+r_2\)

\(r_2r_1=r_1+r_3=r_1+r_2\)■

(증명)

\(r_1r_1=r_0+r_2\)

\(r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1\) ■




다이로그 항등식

  • 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)\[\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots\]\[\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots\]\[\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots\]\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\]\[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\]\[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]\[\sum_{i=1}^{5}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}\right)=\frac{5\pi^2}{14}\]
  • 방정식 \(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\)
  • 방정식 \(x^3+x^2-2x-1=0\)의 해 \(a,b,c\)

\(a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots\), \(b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots\),\(c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots\)

  • k=3인 경우의 앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)\[1-x_{1}=x_{1}^{4}x_{2}^{2}\]\[1-x_{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}\]를 풀면,\[x_{2}=1-\frac{1-x_{1}}{x_{1}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}-1}{x_{1}^{2}}\]\[1-x_{1}=(x_{1}^{2}+x_{1}-1)^{2}\] 따라서 \(x_1\)은 \(x (x^3+2 x^2-x-1)=0\)의 해가 된다




역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

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  • [{'LEMMA': 'heptagon'}]
  • [{'LEMMA': '7-gon'}]
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