체비셰프 다항식

수학노트
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제1종 체비세프 다항식

정의

  • \(n \geq 0 \), 다음과 같은 점화식에 의해여, \(T_n(x)\)을 정의
  • \(T_0(x) = 1 \)
  • \(T_1(x) = x\)
  • \(T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \)


(정리)

\(n \geq 1\)일 때, \(T_n(x)^2=1-x^2+T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)\)

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 \(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\), \(T_2(x) = 2x^2-1\) 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

\(T_{n+1}T_{n-1}=(2xT_{n}-T_{n-1})(T_{n-1})=2xT_{n}T_{n-1}-T_{n-1}^2\)

\(=2xT_{n}T_{n-1}-(1-x^2+T_{n}T_{n-2})=T_{n}(2xT_{n-1}-T_{n-2})-1+x^2=T_{n}^2-1+x^2\) ■



삼각함수와의 관계



생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}\]



직교성

\[\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}\]




제1종 체비셰프 다항식 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & T_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & 2 x^2-1 \\ 3 & 4 x^3-3 x \\ 4 & 8 x^4-8 x^2+1 \\ 5 & 16 x^5-20 x^3+5 x \\ 6 & 32 x^6-48 x^4+18 x^2-1 \\ 7 & 64 x^7-112 x^5+56 x^3-7 x \\ 8 & 128 x^8-256 x^6+160 x^4-32 x^2+1 \\ 9 & 256 x^9-576 x^7+432 x^5-120 x^3+9 x \\ 10 & 512 x^{10}-1280 x^8+1120 x^6-400 x^4+50 x^2-1 \\ 11 & 1024 x^{11}-2816 x^9+2816 x^7-1232 x^5+220 x^3-11 x \\ 12 & 2048 x^{12}-6144 x^{10}+6912 x^8-3584 x^6+840 x^4-72 x^2+1 \\ 13 & 4096 x^{13}-13312 x^{11}+16640 x^9-9984 x^7+2912 x^5-364 x^3+13 x \\ 14 & 8192 x^{14}-28672 x^{12}+39424 x^{10}-26880 x^8+9408 x^6-1568 x^4+98 x^2-1 \\ 15 & 16384 x^{15}-61440 x^{13}+92160 x^{11}-70400 x^9+28800 x^7-6048 x^5+560 x^3-15 x \end{array} $$


제2종 체비세프 다항식

  • \(n \geq 0 \), 다음과 같은 점화식에 의해여, \(U_n(x)\)을 정의
  • \(U_0(x) = 1\)
  • \(U_1(x) = 2x\)
  • \(U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)\)


(정리)

\(n \geq 1\)일 때, \(U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)\)

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\), \(U_2(x) = 4x^2-1\) 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

\(U_{n+1}U_{n-1}=(2xU_{n}-U_{n-1})(U_{n-1})=2xU_{n}U_{n-1}-U_{n-1}^2\)

\(=2xU_{n}U_{n-1}-(1+U_{n}U_{n-2})=U_{n}(2xU_{n-1}-U_{n-2})-1=U_{n}^2-1\) ■



삼각함수와의 관계

  • \(U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}\)
  • 삼각함수


생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty U_n(x) {t^n}=\frac{1}{1-2tx+t^2}\]



제2종 체비셰프 다항식의 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & U_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-1 \\ 3 & 8 x^3-4 x \\ 4 & 16 x^4-12 x^2+1 \\ 5 & 32 x^5-32 x^3+6 x \\ 6 & 64 x^6-80 x^4+24 x^2-1 \\ 7 & 128 x^7-192 x^5+80 x^3-8 x \\ 8 & 256 x^8-448 x^6+240 x^4-40 x^2+1 \\ 9 & 512 x^9-1024 x^7+672 x^5-160 x^3+10 x \\ 10 & 1024 x^{10}-2304 x^8+1792 x^6-560 x^4+60 x^2-1 \\ 11 & 2048 x^{11}-5120 x^9+4608 x^7-1792 x^5+280 x^3-12 x \\ 12 & 4096 x^{12}-11264 x^{10}+11520 x^8-5376 x^6+1120 x^4-84 x^2+1 \\ 13 & 8192 x^{13}-24576 x^{11}+28160 x^9-15360 x^7+4032 x^5-448 x^3+14 x \\ 14 & 16384 x^{14}-53248 x^{12}+67584 x^{10}-42240 x^8+13440 x^6-2016 x^4+112 x^2-1 \\ 15 & 32768 x^{15}-114688 x^{13}+159744 x^{11}-112640 x^9+42240 x^7-8064 x^5+672 x^3-16 x \end{array} $$


삼각함수의 배각공식



역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



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