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*  사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
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*  유리수, 실수, 복소수, 유한체, [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic]] 체, function field 등
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* [[5차방정식과 근의 공식]]을 이해하기 위한 기본적인 개념틀
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*  체 <math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math>
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*  집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
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# <math>(\mathbb{F}, +)</math>는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
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# <math>(\mathbb{F}^{*}, \cdot)</math>는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 <math>\mathbb{F}^{*}</math>은 0을 제외한 원소들의 집합.
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# 더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 <math>a,b,c\in \mathbb{F}</math>에 대하여 <math>a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math> 이 성립한다.
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*  체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 <math>F\subset K</math>일때, K를 F의 체확장이라 한다
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* [[순환 체확장(cyclic extension)]]
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==거듭제곱근 체확장(radical extension)==
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*  주어진 체에서 시작하여 거듭제곱근들을 넣어 만들 수 있는 체확장의 종류
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* [[정다각형의 작도]], [[5차방정식과 근의 공식]] 에서 중요하게 사용되는 개념이다
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* [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 항목에서 자세히 다룸
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==다항식과 갈루아체확장==
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*  (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에서 정의된 다항식 <math>x^3-2=0</math>
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*  해는 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 세 개가 존재
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math>를 집어넣으면 유리수체의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> 를 얻음
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*  이 때, 체 <math>K</math>는 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 <math>[K : \mathbb{Q}]=6</math>이 됨
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==관련된 항목들==
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* [[작도문제와 구적가능성]]
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* [[갈루아 이론]]
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* [[5차방정식과 근의 공식]]
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* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
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* [[p진해석학(p-adic analysis)]]
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==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4 http://ko.wikipedia.org/wiki/체]
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.jstor.org/stable/2589500 Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part I]
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** Israel Kleiner, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 7 (Aug. - Sep., 1999), pp. 677-684
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* [http://www.jstor.org/stable/2589621 Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part II]
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** Israel Kleiner, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 9 (Nov., 1999), pp. 859-863
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==관련논문==
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* Steinitz, Ernst. “Algebraische Theorie der Körper.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 137 (1910): 167–309.
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==관련도서==
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* [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0817646841/ebooksclub-20/ A History of Abstract Algebra]
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** Israel Kleiner
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[[분류:교과목]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q190109 Q190109]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'field'}]
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* [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'Field'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:00 기준 최신판

개요

  • 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
  • 유리수, 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등
  • 5차방정식과 근의 공식을 이해하기 위한 기본적인 개념틀




체(field)의 정의

  • 체 \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
  • 집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
  1. \((\mathbb{F}, +)\)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
  2. \((\mathbb{F}^{*}, \cdot)\)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \(\mathbb{F}^{*}\)은 0을 제외한 원소들의 집합.
  3. 더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 \(a,b,c\in \mathbb{F}\)에 대하여 \(a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\) 이 성립한다.



체확장

  • 체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 \(F\subset K\)일때, K를 F의 체확장이라 한다



순환체확장(cyclic extension)



거듭제곱근 체확장(radical extension)




다항식과 갈루아체확장

  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨




관련된 항목들





사전 형태의 자료




리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Steinitz, Ernst. “Algebraische Theorie der Körper.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 137 (1910): 167–309.

관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'field'}]
  • [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'Field'}]
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