"페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]
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* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
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* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 이면 모두 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
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* 소수 <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 의 곱으로 표현되는 자연수는 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
  
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==두 제곱의 합으로 표현되는 정수==
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===두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수===
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
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* 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400
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===두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수===
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* 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
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==자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수==
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* 자연수 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 디오판투스 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 해의 개수를 <math>r_2(n)</math>라 하자
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* <math>\{r_2(n)\}_{n\geq 0}</math>은 다음과 같은 수열이다
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:<math>
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1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \
 +
0, 0, 12,\cdots
 +
</math>
 +
;정리
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:<math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>
 +
여기서 <math>n</math>이 홀수이면 <math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</math>,  <math>n</math>이 짝수이면 <math>\chi(n)=0</math>.
  
−
* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 소수 <math>p</math>에 대한 문제
+
;증명
 +
이차형식 <math>Q(x,y)=x^2+y^2</math>에 대한 [[Epstein 제타함수]] <math>\zeta_Q(s)</math>는 다음을 만족한다
 +
:<math>
 +
\zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}}
 +
</math>
 +
수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 [[데데킨트 제타함수]] <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음을 만족한다
 +
:<math>
 +
\zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4
 +
</math>
 +
한편 <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
 +
:<math>
 +
\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec}
 +
</math>
 +
여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], <math>L_{-4}(s)</math>는 아래의 [[디리클레 L-함수]]
 +
:<math>L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}</math>
 +
\ref{dec}로부터 다음을 얻는다
 +
:<math>
 +
\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}}
 +
</math>
 +
따라서 <math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>. ■
  
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+
  
−
 
+
==400이하의 소수==
  
−
<h5>두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수</h5>
+
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
  
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* 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400
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4 로 나눈 나머지가 1인 소수
  
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5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">두 제곱의 합으로 표현되는 400이하의 소수</h5>
 
  
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*  2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397<br>
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<math>x^2+2y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379
  
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수
  
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3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379
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<math>x^2+3y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
  
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<h5>역사</h5>
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3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
  
−
 
+
12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수
  
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+
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397
 +
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−
<h5>메모</h5>
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<math>x^2+4y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
  
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5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
  
−
* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
+
16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)
  
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+
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==역사==
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
−
 
+
* [[수학사 연표]]
  
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+
  
−
<h5>사전 형태의 자료</h5>
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−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
==메모==
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
+
* http://mathoverflow.net/questions/191334/growth-of-r-2n
−
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares]
+
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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−
 
+
==관련된 항목들==
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
 +
* [[복소수]]
 +
* [[이차형식 x^2+5y^2]]
 +
* [[이차형식 x^2+27y^2]]
  
−
* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares]<br>
+
−
** D. Zagier, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://dx.doi.org/
 
  
−
 
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
−
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTlhMDE1M2YtYzM4NS00ZDQyLTg2MjEtMzA1YWU5ZjliNjU0&sort=name&layout=list&num=50
  
−
* 도서내검색<br>
+
   
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
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−
 
+
==사전 형태의 자료==
  
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<h5>관련기사</h5>
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares]
  
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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==관련논문==
  
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<h5>블로그</h5>
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* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime <math>p\equiv 1(\mod 4)</math> Is a Sum of Two Squares]
 +
** D. Zagier, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
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[[분류:에세이]]
 +
[[분류:초등정수론]]
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
==메타데이터==
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===위키데이터===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q914517 Q914517]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'theorem'}, {'LOWER': 'on'}, {'LOWER': 'sums'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'two'}, {'LEMMA': 'square'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': '4n+1'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

  • 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
  • 소수 \(p\)에 대하여, \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능
  • 소수 \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 의 곱으로 표현되는 자연수는 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능


두 제곱의 합으로 표현되는 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

  • 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400


두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수

  • 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

  • 자연수 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+y^2=n\)의 해의 개수를 \(r_2(n)\)라 하자
  • \(\{r_2(n)\}_{n\geq 0}\)은 다음과 같은 수열이다

\[ 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \ 0, 0, 12,\cdots \]

정리

\[r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 \(n\)이 홀수이면 \(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\), \(n\)이 짝수이면 \(\chi(n)=0\).

증명

이차형식 \(Q(x,y)=x^2+y^2\)에 대한 Epstein 제타함수 \(\zeta_Q(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}} \] 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4 \] 한편 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) \[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec} \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, \(L_{-4}(s)\)는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 \[ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} \] 따라서 \(r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\). ■


400이하의 소수

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397





4 로 나눈 나머지가 1인 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


\(x^2+2y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379


8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수

3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379

\(x^2+3y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397


12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

\(x^2+4y^2\)로 표현되는 400까지의 소수


5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



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