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==개요==
  
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*  주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
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* [[열방정식]]을 푸는 과정에서 푸리에가 발견
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* <math>2\pi</math>를 주기로 가지는 함수 <math>f</math>
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*  푸리에 계수의 정의:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0</math>:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1</math>
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*  푸리에 급수:<math>f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math>
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* <math>f(x)=x</math>, <math>-\pi < x < \pi</math>:<math>f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)</math>
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* <math>f(x)=\frac{\pi-x}{2}</math>,<math>0 < x \leq \pi</math>:<math>f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x</math>
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* <math>f(x)=x^2</math>, <math>-\pi < x < \pi</math>:<math>f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)</math>
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==예2==
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때,<math>Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta</math>
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* [[로그감마 함수]]:<math>\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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<math>\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx</math>
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<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}</math>
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==관련된 항목들==
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* [[편미분방정식]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourierseries+of+x
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourier+sine+series+of+x
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q179467 Q179467]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'series'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:07 기준 최신판

개요

  • 주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
  • 열방정식을 푸는 과정에서 푸리에가 발견


정의

  • \(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
  • 푸리에 계수의 정의\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\]\[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\]
  • 푸리에 급수\[f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\]


예1

  • \(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)\[f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\]
  • \(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\]
  • \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)\[f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\]



예2

  • 로그감마 함수\[\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\]


역사



메모

\(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}\)



관련된 항목들



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'series'}]
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