"푸앵카레 상반평면 모델"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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==개요==
 
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==제1기본형식==
 
==제1기본형식==
  
*  리만 메트릭<br><math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}</math><br>
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*  리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}</math>
  
 
* <math>E=1/y^2</math>
 
* <math>E=1/y^2</math>
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* <math>G=1/y^2</math>
 
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*  면적소<br><math>dA=\frac{dx\,dy}{y^2}</math><br>
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*  면적소:<math>dA=\frac{dx\,dy}{y^2}</math>
*  두 점 사이의 거리<br><math>\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_ 1-z_ 2|}{|z_ 1-\overline{z_ 2}|}</math><br>
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*  두 점 사이의 거리
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:<math>\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_ 1-z_ 2|}{|z_ 1-\overline{z_ 2}|}</math>
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:<math>
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\cosh \rho(z_ 1,z_ 2)=1+\frac{|z_1-z_2|^2}{2y_1y_2}=
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\frac{\left(x_1-x_2\right)^2+y_1^2+y_2^2}{2 y_1 y_2}
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==크리스토펠 기호==
 
==크리스토펠 기호==
  
* [[크리스토펠 기호]]<br><math>\begin{array}{ll}  \Gamma _ {11}^1 & 0 \\  \Gamma _ {12}^1 & -\frac{1}{y} \\  \Gamma _ {21}^1 & -\frac{1}{y} \\  \Gamma _ {22}^1 & 0 \\  \Gamma _ {11}^2 & \frac{1}{y} \\  \Gamma _ {12}^2 & 0 \\  \Gamma _ {21}^2 & 0 \\  \Gamma _ {22}^2 & -\frac{1}{y} \end{array}</math><br>
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* [[크리스토펠 기호]]:<math>\begin{array}{ll}  \Gamma _ {11}^1 & 0 \\  \Gamma _ {12}^1 & -\frac{1}{y} \\  \Gamma _ {21}^1 & -\frac{1}{y} \\  \Gamma _ {22}^1 & 0 \\  \Gamma _ {11}^2 & \frac{1}{y} \\  \Gamma _ {12}^2 & 0 \\  \Gamma _ {21}^2 & 0 \\  \Gamma _ {22}^2 & -\frac{1}{y} \end{array}</math>
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* 등장변환군(isometry group)
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:<math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>
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* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 은 -1 이다
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*  isometry 군<br><math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math><br>
 
* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 은 -1 이다<br>
 
  
 
==라플라시안==
 
==라플라시안==
  
* [[라플라시안(Laplacian)|라플라시안]]<br><math>\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})</math><br>
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* [[라플라시안(Laplacian)|라플라시안]]:<math>\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})</math>
  
 
   
 
   
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==측지선==
 
==측지선==
  
* [[측지선]]이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다
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* [[측지선]]이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다  
:<math>\frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{2 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0</math>
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:<math>\left\{ \begin{array}{c}
:<math>\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt} +\Gamma^{2}_{2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0</math>
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\frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{2 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0 \\
*  다시 쓰면 다음과 같다<br><math>\ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0</math><br><math>\ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0</math><br>
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\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt} +\Gamma^{2}_{2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0
*  미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다<br> 실직선에 수직인 반원 <math>x(t)=a+b\tanh(rt+c)</math>, <math>y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c)</math> (<math>\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x</math> [[쌍곡함수]])<br> 또는<br> y-축과 평행한 직선 <math>x(t)=a</math>, <math>y(t)=be^{rt+c}</math><br>
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\end{array} \right. </math>
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*  다시 쓰면 다음과 같다
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:<math> \left\{ \begin{array}{c} \ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0 \\ \ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0 \end{array} \right. </math>
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*  미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
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** <math>(x(t),y(t))</math>로 매개화된 실직선에 수직인 반원 :<math>\left\{ \begin{array}{c}
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x(t)=a+b\tanh(rt+c) \\
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y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c)
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\end{array} \right. </math> <math>\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x</math> [[쌍곡함수]])
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** <math>(x(t),y(t))</math>로 매개화된 y-축과 평행한 직선 :<math>\left\{ \begin{array}{c}
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x(t)=a \\
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y(t)=be^{rt+c}
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\end{array} \right. </math>
 
* http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/
 
* http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/
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==리만 텐서==
 
==리만 텐서==
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==쌍곡삼각형의 넓이==
 
==쌍곡삼각형의 넓이==
 
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[[파일:Hyperbolic triangle.jpg]]
  
[/pages/3065168/attachments/2616929 hyperbolic_triangle.jpg]
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*  삼각형<math>D=pq\infty</math>의 넓이:<math>x(P)</math> 를 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표라 하고, <math>x(p)=a</math>, <math>x(q)=b</math>라 두자. :<math>A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'</math>:<math>x=\cos \theta</math>로 치환, <math>a=\cos (\pi-\alpha)</math>, <math>b=\cos (\beta+\beta')</math>을 사용하였음
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*  삼각형 <math>D'=rq\infty</math>의 넓이 위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다 :<math>A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'</math>
  
* 삼각형<math>D=pq\infty</math>의 넓이<br><math>x(P)</math> 를 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표라 하고, <math>x(p)=a</math>, <math>x(q)=b</math>라 두자.<br><math>A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'</math><br><math>x=\cos \theta</math>로 치환, <math>a=\cos (\pi-\alpha)</math>, <math>b=\cos (\beta+\beta')</math>을 사용하였음<br>
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*  삼각형 <math>D'=rq\infty</math>의 넓이<br> 위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다<br><math>A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'</math><br>
 
 
 
 
 
  
 
(정리)
 
(정리)
  
세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>인 쌍곡삼각형 <math>\Delta</math>의 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다
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세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>인 쌍곡삼각형 <math>\Delta</math>의 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다.
  
 
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(증명)
 
(증명)
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<math>A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> ■
 
<math>A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> ■
  
 
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* [[가우스-보네 정리]]로도 같은 결과를 얻을 수 있으며, 더 일반적인 곡면에 적용가능하다<br>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==쌍곡기하학의 삼각형==
 
 
 
위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, [[모듈라 군(modular group)]]이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 <math> (2, 3, \infty)</math>이다.
 
 
 
 
 
사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 쌍곡기하학에서는 변의 길이를 알 필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면 그 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 가 된다.
 
 
 
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실, :<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 
 
 
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 
 
 
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 
 
 
 
 
 
 
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는 :<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
 
 
로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 :<math>\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
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* [[가우스-보네 정리]]로도 같은 결과를 얻을 수 있으며, 더 일반적인 곡면에 적용가능하다
  
==테셀레이션==
 
  
[/pages/3065168/attachments/2600953 dedekind1877.gif]
 
  
  
 
==역사==
 
==역사==
  
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
 
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==메모==
 
==메모==
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* [http://www.math.sunysb.edu/%7Emalkoun/hyperbolic.pdf http://www.math.sunysb.edu/~malkoun/hyperbolic.pdf]
 
* [http://www.math.sunysb.edu/%7Emalkoun/hyperbolic.pdf http://www.math.sunysb.edu/~malkoun/hyperbolic.pdf]
  
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 
+
* [[2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션]]
* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]
+
* [[케일리 뫼비우스 변환]]
 +
* [[로바체프스키 함수]]
 
* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
 
* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
* [[케일리 뫼비우스 변환]]
+
* [[이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)]]
 +
  
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOGNiYzY2ODctYThkZC00Mzg1LWI4OGQtMWZiMmUyYmIyMjBi/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOGNiYzY2ODctYThkZC00Mzg1LWI4OGQtMWZiMmUyYmIyMjBi/edit
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=upper-half+plane
* http://functions.wolfram.com/
+
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=isometry}}
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==사전 형태의 자료==
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==사전 형태의 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_half-plane_model http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model]
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=upper-half+plane
 
  
 
 
  
 
+
[[분류:미분기하학]]
 +
[[분류:곡면]]
 +
[[분류:쌍곡기하학]]
  
==관련논문==
+
== 메타데이터 ==
  
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+
==메타데이터==
* http://dx.doi.org/
+
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2534886 Q2534886]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]
 +
* [{'LOWER': 'poincare'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:07 기준 최신판

개요



정의

  • \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)



제1기본형식

  • 리만 메트릭\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
  • \(E=1/y^2\)
  • \(F=0\)
  • \(G=1/y^2\)
  • 면적소\[dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\]
  • 두 점 사이의 거리

\[\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_ 1-z_ 2|}{|z_ 1-\overline{z_ 2}|}\] \[ \cosh \rho(z_ 1,z_ 2)=1+\frac{|z_1-z_2|^2}{2y_1y_2}= \frac{\left(x_1-x_2\right)^2+y_1^2+y_2^2}{2 y_1 y_2} \]



크리스토펠 기호

  • 크리스토펠 기호\[\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & 0 \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {22}^1 & 0 \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{1}{y} \\ \Gamma _ {12}^2 & 0 \\ \Gamma _ {21}^2 & 0 \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{1}{y} \end{array}\]
  • 등장변환군(isometry group)

\[\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\]


라플라시안

  • 라플라시안\[\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})\]



측지선

  • 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다

\[\left\{ \begin{array}{c} \frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{2 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0 \\ \frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt} +\Gamma^{2}_{2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0 \end{array} \right. \]

  • 다시 쓰면 다음과 같다

\[ \left\{ \begin{array}{c} \ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0 \\ \ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0 \end{array} \right. \]

  • 미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
    • \((x(t),y(t))\)로 매개화된 실직선에 수직인 반원 \[\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a+b\tanh(rt+c) \\ y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c) \end{array} \right. \] \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\) 쌍곡함수)
    • \((x(t),y(t))\)로 매개화된 y-축과 평행한 직선 \[\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a \\ y(t)=be^{rt+c} \end{array} \right. \]
  • http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/


리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{1}{y^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{1}{y^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)



쌍곡삼각형의 넓이

Hyperbolic triangle.jpg

  • 삼각형\(D=pq\infty\)의 넓이\[x(P)\] 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자. \[A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\]\[x=\cos \theta\]로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  • 삼각형 \(D'=rq\infty\)의 넓이 위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다 \[A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\]


(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.


(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma\) ■




역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • isometry - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료

메타데이터

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]
  • [{'LOWER': 'poincare'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plane'}, {'LEMMA': 'model'}]