다항식의 판별식(discriminant)

개요

• n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다 \[\left(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)\right)^2\]
• 교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 근과 계수와의 관계를 이용하여 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
• 반데몬드 행렬식 의 제곱과 같다

2차식의 판별식

• 이차식 \(x^2+bx+c\)
• 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.

3차식의 판별식

• 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
• 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.
  \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\)
  
• 근과 계수와의 관계 에 따라
  \(x_1+x_2+x_3=0\)
  \(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\)
  \(x_1 x_2 x_3=-b\)
  
• 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자
  \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\)
  \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\)
  \(x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\)
  
• 위의 행렬은
  \(\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다
  

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
• 대칭다항식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMmQ2Njc4ZjAtODZjMy00ZmFmLWExOTYtZjM4MGFkOWNlNDU4&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  
  • §1.11 Zeros of Polynomials
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
• http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html
• The Online Encyclopaedia of Mathematics

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/