대칭다항식

개요

n 변수의 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( 대칭군 (symmetric group) )
다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transposition 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식(alternating polynomial)이라 한다

(정리)

\(E(-x)P(x)=x E'(-x)\)

where

\(P(x)=\sum_{i\geq 1} x_i^{n}x^n\)

\(E(x)=x^{n}-e_1 x^{n-1}+e_2 x^{n-2}+\cdots\)

\(H(x)=\prod_{i}\frac{1}{1-x x_i}\)

Ben Blum-Smith, Samuel Coskey, The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory, arXiv:1301.7116[math.HO], January 30 2013, http://arxiv.org/abs/1301.7116v4
Alain Lascoux, Symmetric functions
J. Dieudonné, Schur functions and group representations , Young tableaux and Schur functors in algebra and geometry, Astéerisque, 87--88 , 7--19 (1981)