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<math>\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-(1-2^{2-m})\zeta(m-1)\operatorname{Ls}_{3}(\pi)/2!+(1-2^{3-m})\zeta(m-2)\operatorname{Ls}_{4}(\pi)/3\cdots+!+(-1)^{m}(1-1/2})\zeta(2)\operatorname{Ls}_{m}(\pi)/(m-1)!]</math> 
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<math>\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-\sum_{k=2}^{m-1}(-1)^{k}\frac{1-2^{k-m}}{k!}\zeta(m-k+1)\operatorname{Ls}_{k+1}(\pi)</math>
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2010년 6월 16일 (수) 08:22 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 정의
    \(\operatorname{Ls}_{a+b,a}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)
    \(\operatorname{Ls}_{n}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
  • 클라우센 함수의 일반화로 볼 수 있다
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

 

 

\(\int_{0}^{1-e^{i\theta}}\log^{n-1}z\frac{dz}{1-z}=-i\int_{0}^{\theta}(\frac{i}{2}(x-\pi)+\log|2\sin \frac{x}{2}|)^{n-1}\,dx \)\(=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)

 

 

special values의 생성함수
  • 정의
    \(\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
  • 생성함수
    \(I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)\)

(정리)

\(I(x)=\frac{\pi\Gamma(1+x)}{(\Gamma(1+\frac{1}{2}x))^2}\)

 

(증명)

오일러 베타적분 의 결과를 이용하자. 

\(B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta\)

 \(I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\int_{0}^{\pi}(2\sin \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=2^{x+1}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{x}t\,dt\)

 

 

점화식

\(\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-\sum_{k=2}^{m-1}(-1)^{k}\frac{1-2^{k-m}}{k!}\zeta(m-k+1)\operatorname{Ls}_{k+1}(\pi)\)

 

 

special values

\(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}\)

\(\int_{0}^{\pi/2}\log^2(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}(\log 2)^2+\frac{\pi^3}{24}\)

\(\operatorname{Ls}_2(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx=0\)

\(\operatorname{Ls}_3(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=-\frac{\pi^3}{12}\)

\(\operatorname{Ls}_4(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^3(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{3\pi}{2}\zeta(3)\)

\(\operatorname{Ls}_5(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^4(2\sin \frac{x}{2})\,dx=-\frac{19\pi^5}{240}\)

\(\operatorname{Ls}_6(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^5(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{45\pi}{2}\zeta(5)+\frac{5\pi^3}{4}\zeta(3)\)\(\operatorname{Ls}_7(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^6(2\sin \frac{x}{2})\,dx=-\frac{45\pi}{2}\zeta^2(3)-\frac{275\pi^7}{1344}\)

\(\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}\)

\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\)

 

 

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