"로그 사인 적분 (log sine integrals)"의 두 판 사이의 차이

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<math>\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}</math>
 
<math>\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}</math>
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<math>\int_{0}^{\pi}x^2\log^2(2\cos \frac{x}{2})\,dx=\frac{11\pi^5}{180}</math> 
 
  
 
<math>\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}</math>
 
<math>\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}</math>
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<h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">메모</h5>
 
<h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">메모</h5>
  
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<math>\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx=}}=\frac{\zeta(3)}{6}+\frac{\pi\sqrt{3}}{144}(\psi(\frac{1}{3})-\psi(\frac{2}{3}))</math> 
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* [[중심이항계수(central binomial coefficient)]] 에서 다음값 확인<br><math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{u}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
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* http://cjackal.tistory.com/10[http://cjackal.tistory.com/109 9]<br>
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 여기서 <math>\psi</math>는 트리감마(trigamma)함수. [[다이감마 함수(digamma function)|다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions)]] 항목 참조
 
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* [http://cjackal.tistory.com/109 http://cjackal.tistory.com/10][http://cjackal.tistory.com/109 9]<br>
 
  
 
 
 
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]<br>
 
** David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
 
** David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
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*  Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms<br>
 
*  Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms<br>

2010년 6월 24일 (목) 16:55 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 정의
    \(\operatorname{Ls}_{a+b,a}(\theta):=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)
    \(\operatorname{Ls}_{n}(\theta):=\operatorname{Ls}_{n,0}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
  • 클라우센 함수의 일반화로 볼 수 있다
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

 

 

\(\int_{0}^{1-e^{i\theta}}\log^{n-1}z\frac{dz}{1-z}=-i\int_{0}^{\theta}(\frac{i}{2}(x-\pi)+\log|2\sin \frac{x}{2}|)^{n-1}\,dx \)\(=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)

 

 

로그사인 정적분
  • 정적분 값의 계산 문제
    \(\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
  • 생성함수
    \(I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)\)

(정리)

\(I(x)=\frac{\pi\Gamma(1+x)}{(\Gamma(1+\frac{1}{2}x))^2}\)

 

(증명)

오일러 베타적분 의 결과를 이용하자. 

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)

 \(I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\int_{0}^{\pi}(2\sin \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=2^{x+1}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{x}t\,dt=\sqrt{\pi}\frac{2^x\Gamma(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{x}{2}+1)}\)

여기서 감마함수의 곱셈공식 \(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\) 을 이용하면, 우변을 정리하여 원하는 식을 얻는다. ■

 

(정리)

\(\log I(x)=\log \sqrt{\pi}+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k (1-2^{1-k})\frac{\zeta(k)}{k}x^k\)

 

(증명)

로그감마 함수의 테일러전개를 이용하자.  \(\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\)

■

 

  • 정적분의 점화식
    \(\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-\sum_{k=2}^{m-1}(-1)^{k}\frac{1-2^{k-m}}{k!}\zeta(m-k+1)\operatorname{Ls}_{k+1}(\pi)\)
  • 이 정적분은 \(\ln 2\)와 \(\zeta(n), n\geq 2\) 의 다항식으로 표현할 수 있다[Bowman1947]
     

 

 

special values

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\) 

(여기서 G는 카탈란 상수)

\(\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}\)

\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\)

\(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}\)

\(\int_{0}^{\pi/2}\log^2(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}(\log 2)^2+\frac{\pi^3}{24}\)

\(\int_{0}^{\pi}\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx=0\)

\(\int_{0}^{\pi}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{\pi^3}{12}\) 

\(\int_{0}^{\pi}\log^3(2\sin \frac{x}{2})\,dx=-\frac{3\pi}{2}\zeta(3)\)

\(\int_{0}^{\pi}\log^4(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{19\pi^5}{240}\)

\(\int_{0}^{\pi}\log^5(2\sin \frac{x}{2})\,dx=-\frac{45\pi}{2}\zeta(5)-\frac{5\pi^3}{4}\zeta(3)\)

\(\int_{0}^{\pi}\log^6(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{45\pi}{2}\zeta^2(3)+\frac{275\pi^7}{1344}\)

 

 

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