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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
* [[바이어슈트라스 시그마 함수]]
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* 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
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* 사인함수와 비슷한 역할을 함
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*  격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수:<math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math>
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* 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math> 을 사용하여, <math>\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)</math> 로 쓰기도 함
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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==로랑급수==
  
* 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
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z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다:<math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math>
* 사인함수와 비슷한 역할을 함
 
격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수<br><math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math><br>
 
* 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math> 을 사용하여, <math>\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)</math> 로 쓰기도 함
 
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">로랑급수</h5>
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==바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계==
  
* z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다<br><math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math><br>
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]:<math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math>
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*  덧셈공식:<math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math>
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계</h5>
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]<br><math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math><br>
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==세타함수로서의 시그마함수==
*  덧셈공식<br><math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math><br>
 
  
 
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<math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math>
  
 
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<math>\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)</math>
  
 
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<math>\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math>
  
<math>\sigma(z+\omega_{i})=e^{\eta_{i}z}\sigma(\omega_{i})\sigma_{i}(z)</math> 
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<math>\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)</math>
  
<math>\sigma(z+2\omega_{i})=-e^{2\eta_{i}(z+\omega_{i})}\sigma(z)</math>
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<math>\sigma(z+2n\omega_{i})=(-1)^n e^{2\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i})}\sigma(z)</math>
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==타원함수론==
 
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">타원함수론</h5>
 
  
 
모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 <math>f(z)</math>는 타원함수이다
 
모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 <math>f(z)</math>는 타원함수이다
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(증명)
 
(증명)
  
<math>f(z+2\omega_{i})=f(z)</math>
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<math>f(z+\omega_{i})=f(z)</math> 임을 보이자.
  
 
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<math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> 이므로, <math>\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}</math>
  
 
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<math>\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> 이므로 <math>\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)</math>.
  
 
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<math>f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)</math>. ■
  
 
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
  
 
+
  
<h5>역사</h5>
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==메모==
 
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
 
* [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>메모</h5>
 
  
 
* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus]
 
* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus]
 
* [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications]
 
* [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications]
  
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]
 
* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]
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* [[코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)|솔리톤]]
 
* [[코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)|솔리톤]]
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스[[7391409/attachments/4910061|]]</h5>
 
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
* [http://eom.springer.de/w/w097450.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]<br>
+
* [http://eom.springer.de/w/w097450.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
** [http://eom.springer.de/w/w097450.htm Weierstrass elliptic functions]
 
** [http://eom.springer.de/w/w097450.htm Weierstrass elliptic functions]
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br>
+
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
** http://dlmf.nist.gov/23.2#ii
 
** http://dlmf.nist.gov/23.2#ii
  
* [[매스매티카 파일 목록]][http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html ]
 
 
 
 
  
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions
 
* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions
  
 
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<h5>관련논문</h5>
 
  
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==관련논문==
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* Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
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* Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
 
* Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04215-8 0.1090/S0002-9947-07-04215-8]
 
* Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04215-8 0.1090/S0002-9947-07-04215-8]
 
* Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:[http://dx.doi.org/10.1112/S0024609304004163 10.1112/S0024609304004163].
 
* Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:[http://dx.doi.org/10.1112/S0024609304004163 10.1112/S0024609304004163].
* Braden, Harry W, Victor Z Enolskii, and  Andrew N. W Hone. 2005. “Bilinear recurrences and addition formulae for hyperelliptic sigma functions”. <em>math/0501162</em> (1월 11). http://arxiv.org/abs/math/0501162
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* Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.
 
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.ams.org/mathscinet
 
* http://dx.doi.org/
 
 
 
 
 
  
 
 
  
<h5>관련도서</h5>
+
[[분류:특수함수]]
  
*  도서내검색<br>
+
==메타데이터==
** http://books.google.com/books?q=
+
===위키데이터===
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3075283 Q3075283]
*  도서검색<br>
+
===Spacy 패턴 목록===
** http://books.google.com/books?q=
+
* [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
  • 사인함수와 비슷한 역할을 함
  • 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
  • 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함



로랑급수

  • z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]



바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계




세타함수로서의 시그마함수

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)

\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)




타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다

\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)

(증명)

\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).

\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■



역사



메모




관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

  • Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
  • Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
  • Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
  • Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
  • Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]