베버(Weber) 모듈라 함수

개요

• 모듈라 함수
• 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
• class field theory에서 중요한 역할
• q-초기하급수의 형태로 표현됨

정의

• 다음과 같이 세 함수를 정의

\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\] 여기서 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수

모듈라 성질

• \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)

항등식

• 다음의 항등식을 만족한다

\[\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8\]

j-불변량과의 관계

• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
• \(\mathfrak{f}(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 1(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 2(\tau)^{24}\)는 \((x-16)^3-j(\tau)x=0\) 의 근이다
• 다음의 관계가 성립한다

\[\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\] \[\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(\tau)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8 - \mathfrak{f}_ 2(\tau)^8)}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}\]

special values

• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
• \(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2\)
• \(\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8\)
• If \(\tau=\sqrt{-m}\), \(m\equiv 1 \pmod 4\), then \(2^{-1/8}\mathfrak{f}_2(\tau)\) is a unit.

q-초기하급수 표현

• 로저스-라마누잔 항등식‎과 유사하게 q-초기하급수 표현이 존재한다
• q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
• \(z=q^{1/2}\) 인 경우

\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \] \[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} \]

• \(z=q\) 인 경우

\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]

• 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다

\[f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}\] \[\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]

연분수표현

• [Duke2005] 154p

\[\mathfrak{f}_2(\tau)={\sqrt{2}q^{1/24} \over 1- } {q \over 1-q+} {q \over 1+q-} {q^3 \over 1-q^3+} \cdots\]

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 라마누잔의 class invariants
• 데데킨트 에타함수
• 로저스-라마누잔 항등식
• Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)
• 자코비 세타함수
• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeVNNb0I3Qk5nd0k/edit

관련논문

• [Duke2005]W. Duke, Continued fractions and modular functions , Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
• Characters, supercharacters and Weber modular functions
  • Antun Milas, 2005
• Weber's class invariants revisited
  • Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343
• On The Singular Values Of Weber Modular Functions
  • Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662
• Weber's Class Invariants
  • B. J. Birch, Mathematika 16 (1969)

관련도서

• 베버의 책
  • Elliptische functionen und algebraische zahlen (1891). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 1) (1898). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 2) (1898). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 3) (1898). available in print
  • Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3 (1876). available in print