"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

개요

유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
- 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
- 가우스와 순환소수
1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고

142857의 여러가지 성질

142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
142857 X 7 = 999999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다\[1/7=0.142857142857\cdots\]
142857의 성질과 해설

순환마디의 길이

\(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
\(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 \(\varphi(n)\) 를 나누게 된다
군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조

순환마디를 얻는 과정의 이해

\(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정

주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1
빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견

\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)

\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)

\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)

\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)

\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)

\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)

\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)

1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다

cyclic numbers

하위페이지

분수와 순환소수

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction

블로그

142857의 신비 (피타고라스의 창)
구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=142857

메타데이터

위키데이터

ID : Q81365

Spacy 패턴 목록

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[{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': 'ten'}]
[{'LEMMA': 'denary'}]
[{'LOWER': 'decimal'}, {'LOWER': 'numeral'}, {'LEMMA': 'system'}]
[{'LOWER': 'decimal'}, {'LEMMA': 'system'}]
[{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': '10'}]

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-<h5>간단한 소개</h5>
+==개요==
-* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다.
+* 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
-* 순환마디는 겉보기보다 훨씬 생각할 거리가 풍부한 좋은 수학 문제.
+*  초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
-* 수학자 가우스도 소년 시절에 이를 열심히 공부했음. (아래 참고할만한 자료)
+** 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
-* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%20%3D%200.142857142857%5Ccdots ]
+*  수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
-* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
+** [[가우스와 순환소수]]
-* 142857 X 7 = 999999
+* [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]을 함께 참고
-* 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99
-* 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
-* 더 자세한 이야기는 [[순환소수에 대한 아틴의 추측|분수의 십진법 전개와 아틴의 추측]] 에서...
-<h5>관련된 단원</h5>
+==142857의 여러가지 성질==
+* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
+* 142857 X 7 = 999999
+* 142 + 857 = 999
+* 14 + 28 + 57 = 99
+*  이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다:<math>1/7=0.142857142857\cdots</math>
+* [['142857의 신비' 해설|142857의 성질과 해설]]
+==순환마디의 길이==
+* <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
+* n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
+* <math>10^k \equiv 1 \pmod n</math> 를 만족시키는 가장 작은 자연수 <math>k</math>가 순환 마디의 길이가 된다
+* 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군  <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 에서의 order가 바로  <math>1/n</math>의 순환마디의 길이가 됨
+* [[오일러의 totient 함수]] 의 순환마디의 길이는 <math>\varphi(n)</math> 를 나누게 된다
+* 군 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 정의에 대해서는 [[합동식과 군론]] 참조
+==순환마디를 얻는 과정의 이해==
+* <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정
+*  주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 1,3,2,6,4,5, 그리고 1
+* 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
+* 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
+* 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
+* 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견
+<math>10^0 \equiv 1 \pmod 7</math>
+<math>10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7</math>
+<math>10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7</math>
+<math>10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7</math>
+<math>10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7</math>
+<math>10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7</math>
+<math>10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7</math>
+* 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다
+==cyclic numbers==
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10.]
+* [[cyclic numbers]]
+==== 하위페이지 ====
+* [[분수와 순환소수]]
+** [[간단한 분수의 순환소수 전개 목록|1/n 의 순환소수 전개 목록]]
+** [[cyclic numbers]]
+** [[가우스와 순환소수]]
+** [[미디의 정리(Midy's theorem)]]
+** [[순환소수에 대한 아틴의 추측]]
+** [[순환소수와 class number]]
+==관련된 고교수학 또는 대학수학==
 * 유리수
-*  정수<br>
+*  정수
 ** 약수와 배수
+* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)|합동식]], 잉여류, [[원시근(primitive root)|원시근]], [[이차잉여의 상호법칙|이차잉여]], [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|이차형식]]
+* [[초등정수론]]
+** 오일러-페르마 정리
+* [[추상대수학]]
+** 순환군
-<h5>관련된 다른 주제들</h5>
+==관련된 항목들==
-<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
+* [[원시근(primitive root)]]
+* [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic analysis]]
-*  '[http://bomber0.byus.net/wp-content/uploads/2008/09/rademacher-decimal-fraction.pdf Decimal Fractions]' from the book 'Higher mathematics from elementary point of view'<br>
+==사전 형태의 자료==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction
+==관련도서==
+*  Higher mathematics from elementary point of view
 ** Hans Rademacher
+** Chapter 5. Decimal Fractions ([[1979584/attachments/1370998|pdf]])
+==관련논문==
+* Bantchev, Boyko B. “Fraction Space Revisited.” arXiv:1507.03952 [math], July 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03952.
+*  Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
+* [http://www.jstor.org/stable/3026586 The Alluring Lore of Cyclic Numbers]
+** Michael W. Ecker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109
+* [[#%20Fractions%20with%20Cycling%20Digit%20Patterns%20#%20Dan%20Kalman%20#%20The%20College%20Mathematics%20Journal,%20Vol.%2027,%20No.%202%20%28Mar.,%201996%29,%20pp.%20109-115%20|Fractions with Cycling Digit Patterns]]
+** Dan Kalman, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115
+* [http://www.jstor.org/stable/2686394 Repeating Decimals]
+** W. G. Leavitt, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308
+==관련기사==
+*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
+** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=순환소수]
+** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=142857
-<h5>참고할만한 자료</h5>
-*  142857의 신비 (피타고라스의 창)<br>
+==블로그==
+*  142857의 신비 (피타고라스의 창)
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/02/726 142857와 군론의 만남(1)]
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 142857와 군론의 만남(2)]
@@ 43번째 줄: / 165번째 줄: @@
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/06/733 142857와 군론의 만남(5) : 둘이 함께 추는 춤]
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/08/735 142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적]
+* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=142857
+[[분류:중학수학]]
+[[분류:중학수학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
-<h5>관련된 고딩수학 및 대학수학</h5>
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q81365 Q81365]
+===Spacy 패턴 목록===
-* [[초등정수론]]<br>
+* [{'LEMMA': 'decimal'}]
-** 오일러-페르마 정리
+* [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': 'ten'}]
-* [[추상대수학]]<br>
+* [{'LEMMA': 'denary'}]
-** 순환군
+* [{'LOWER': 'decimal'}, {'LOWER': 'numeral'}, {'LEMMA': 'system'}]
+* [{'LOWER': 'decimal'}, {'LEMMA': 'system'}]
+* [{'LOWER': 'base'}, {'LEMMA': '10'}]

"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

목차

개요

142857의 여러가지 성질

순환마디의 길이

순환마디를 얻는 과정의 이해

cyclic numbers

하위페이지

관련된 고교수학 또는 대학수학

관련된 항목들

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