"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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==이 항목의 수학노트 원문주소==
 
 
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==개요==
 
==개요==
 
* [[대칭다항식]]의 하나
 
* [[대칭다항식]]의 하나
 
* 수학의 많은 영역에서 등장함
 
* 수학의 많은 영역에서 등장함
* [[대칭군의 표현론]]에서 중요한 역할
+
* [[일반 선형군의 표현론]]에서 지표 역할
 
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* [[대칭군의 표현론]]과 [[일반 선형군의 표현론]]에서 중요한 역할
 
 
  
  
 
==정의==
 
==정의==
  
* 변수의 개수 n과 d의 (0을 허용하는 크기가 n인) 분할(partition)<math>\lambda</math>가 주어지면 d차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
+
* 변수의 개수 <math>n</math>과 <math>d</math>의 (0을 허용하며, 크기가 <math>n</math>인) 분할(partition) <math>\lambda</math>가 주어지면 <math>d</math>차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
 +
** 분할 <math>\lambda</math>의 크기가 <math>n</math>보다 큰 경우, <math>s_{\lambda}=0</math>
 
*  다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
 
*  다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
 
** <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
 
** <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
** d의 (크기가 n인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
+
** <math>d</math>의 (크기가 <math>n</math>인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
*  다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
+
*  다음과 같이 <math>n\times n</math> 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
 
:<math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}</math>
 
:<math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}</math>
 
:<math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}</math>
 
:<math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}</math>
* \ref{van}의 $a_{\rho}$는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
+
* \ref{van}의 <math>a_{\rho}</math>는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math><br>
+
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math>
* 교대다항식을 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, [[대칭다항식]]이 된다
+
* 교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, [[대칭다항식]]이 된다
 
 
 
 
  
 
==예==
 
==예==
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===변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우===
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\begin{array}{c|c}
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\lambda & s_{\lambda } \\
 +
\hline
 +
\{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\
 +
\{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\
 +
\{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\
 +
\{2,1,1\} & 0 \\
 +
\{1,1,1,1\} & 0
 +
\end{array}
 +
===변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우===
 +
\begin{array}{c|c}
 +
\lambda & s_{\lambda } \\
 +
\hline
 +
\{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\
 +
\{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\
 +
\{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\
 +
\{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\
 +
\{1,1,1,1\} & 0
 +
\end{array}
 +
  
* 변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식
+
   
:<math>
 
\left( \begin{array}{cc}  \{4,0,0,0\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\  \{3,1,0,0\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\  \{2,2,0,0\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\  \{2,1,1,0\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\  \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right)
 
</math>
 
 
 
 
 
  
 
+
 
 
 
 
  
 
==영 태블로==
 
==영 태블로==
 +
* [[영 태블로(Young tableau)]]를 이용한 슈르 다항식의 표현
 +
:<math>s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)</math>
 +
여기서 <math>T</math>는  <math>\lambda</math> 형태의 준표준 영 태블로
 +
* 예 <math>n=3</math>, <math>\lambda=(2,1,1)</math>의 경우, <math>s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2</math>
 +
:<math>
 +
\begin{array}{cc}
 +
\boxed{1} & \boxed{1} \\
 +
\boxed{2} & {} \\
 +
\boxed{3} & {} \\
 +
\end{array},\,
 +
\begin{array}{cc}
 +
\boxed{1} & \boxed{2} \\
 +
\boxed{2} & {} \\
 +
\boxed{3} & {} \\
 +
\end{array},\,
 +
\begin{array}{cc}
 +
\boxed{1} & \boxed{3} \\
 +
\boxed{2} & {} \\
 +
\boxed{3} & {} \\
 +
\end{array}\,
 +
</math>
 +
* [[코스트카 수 (Kostka number)]]
  
<math>s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)</math>
+
==The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)==
 +
* 슈르 다항식은 [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]의 다항식으로 표현할 수 있다
 +
;정리 (자코비-트루디)
 +
<math>s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})</math>
 +
===예===
 +
*  변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다
 +
:<math>\left( \begin{array}{cc}  h_1 & x_1+x_2+x_3 \\  h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\  h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\  h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)</math>
 +
* 예 :<math>s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
h_2 & h_3 & h_4 \\
 +
1 & h_1 & h_2 \\
 +
0 & 1 & h_1 \\
 +
\end{array}
 +
\right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4</math>
  
여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ
+
  
 
+
==코쉬 항등식==
 +
* 다음이 성립한다
 +
:<math>
 +
\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)
 +
</math>
  
 
+
===1변수의 예===
 +
* 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 <math>(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>꼴로 주어진다
 +
* 슈르다항식은 <math>s_{(n)}(x_1)=x_1^n</math>
 +
* 따라서
 +
:<math>
 +
\sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1}
 +
</math>
  
==The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)==
+
===2변수의 예===
 +
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\
 +
&=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\
 +
&+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\
 +
&+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots
 +
\end{aligned}
 +
</math>
 +
* http://mathoverflow.net/questions/114275/generalization-of-cauchys-identity
 +
* [[코쉬 행렬과 행렬식]]
  
* 슈르 다항식은 [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]의 다항식으로 표현할 수 있다
 
* <math>s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})</math>
 
*  변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다 :<math>\left( \begin{array}{cc}  h_1 & x_1+x_2+x_3 \\  h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\  h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\  h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)</math><br>
 
* 예. :<math>s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4</math>
 
  
 
+
==리틀우드 항등식==
 
+
* 다음이 성립한다
 
+
:<math>
 +
\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j}
 +
</math>
 +
* The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.
 +
;정리 (맥도날드)
 +
임의의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 +
:<math>
 +
\sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)}
 +
</math>
  
 
==역사==
 
==역사==
 
 
 
 
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
 
+
  
 
+
  
 
==메모==
 
==메모==
 
* 슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
 
* 슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
 
* <math>s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}</math>
 
* <math>s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}</math>
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
  
 
 
  
 
+
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
* [[대칭군의 character에 대한 프로베니우스 공식]]
+
* [[일반 선형군의 표현론]]
 
+
* [[대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식]]
 
+
* [[행렬식]]
 
 
 
 
  
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3/edit
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
 
 
  
 
+
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
 +
* 표준, {{학술용어집|url=standard}}
 +
* 준,반, {{학술용어집|url=semi}}
  
* 단어사전<br>
+
   
** http://translate.google.com/#en|ko|
 
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
  
 
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==사전 형태의 자료==
+
==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindstr%C3%B6m%E2%80%93Gessel%E2%80%93Viennot_lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Lindström–Gessel–Viennot_lemma]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindstr%C3%B6m%E2%80%93Gessel%E2%80%93Viennot_lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Lindström–Gessel–Viennot_lemma]
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
  
 
 
  
 
+
  
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 +
* Tamvakis, Harry. 2012. “The Theory of Schur Polynomials Revisited.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série 58 (1-2): 147–163. http://arxiv.org/abs/1008.3094
 +
* Bruce Sagan, Schur functions in algebraic combinatorics, in Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II M. Hazewinkel ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, 409-411 http://www.math.msu.edu/~sagan/Papers/Old/schur.pdf
 +
* Macdonald, I. G. 1992. “Schur Functions: Theme and Variations.” In Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Saint-Nabor, 1992), 498:5–39. Publ. Inst. Rech. Math. Av. Strasbourg: Univ. Louis Pasteur. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1308728. http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s28macdonald.pdf
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 +
==관련논문==
 +
* Yeats, Karen. “A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities.” arXiv:1511.06337 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06337.
 +
* Blasiak, Jonah, and Sergey Fomin. “Noncommutative Schur Functions, Switchboards, and Positivity.” arXiv:1510.00657 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00657.
 +
* Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
 +
* Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
 +
* Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
 +
* Proctor, Robert A. 1989. “Equivalence of the Combinatorial and the Classical Definitions of Schur Functions.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 51 (1) (May): 135–137. doi:10.1016/0097-3165(89)90086-1.
 +
* I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf
 +
[[분류:대칭다항식]]
  
 +
== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
  
 
+
* Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276
  
 
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6552939 Q6552939]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'lindström'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gessel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'viennot'}, {'LEMMA': 'lemma'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:50 기준 최신판

개요


정의

  • 변수의 개수 \(n\)과 \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
    • 분할 \(\lambda\)의 크기가 \(n\)보다 큰 경우, \(s_{\lambda}=0\)
  • 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • \(d\)의 (크기가 \(n\)인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
  • 다음과 같이 \(n\times n\) 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}




영 태블로

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 \(T\)는 \(\lambda\) 형태의 준표준 영 태블로

  • 예 \(n=3\), \(\lambda=(2,1,1)\)의 경우, \(s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2\)

\[ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, \]

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

정리 (자코비-트루디)

\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

  • 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]


코쉬 항등식

  • 다음이 성립한다

\[ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) \]

1변수의 예

  • 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 \((n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)꼴로 주어진다
  • 슈르다항식은 \(s_{(n)}(x_1)=x_1^n\)
  • 따라서

\[ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} \]

2변수의 예

\[ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} \]


리틀우드 항등식

  • 다음이 성립한다

\[ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} \]

정리 (맥도날드)

임의의 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} \]

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관련논문

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  • Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
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리뷰, 에세이, 강의노트

  • Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276

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  • [{'LOWER': 'lindström'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gessel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'viennot'}, {'LEMMA': 'lemma'}]