"앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 39개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | * [[ | + | * [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]의 일반화 |
| + | * 모듈라 성질을 가지며([[모듈라 형식(modular forms)]] 참조), [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 형태로 표현 가능 | ||
| + | * 등각장론에서 c(2, 2k+1) minimal 모형에 의해 주어지는 표현의 캐릭터:<math>\chi_j(\tau)=q^{h_j-c/24}\prod_{n\neq 0,\pm(j+1)}(1-q^n)^{-1}</math> | ||
| + | * [[베일리 사슬(Bailey chain)]], [[베일리 격자(Bailey lattice)]] 의 방법으로 증명할 수 있다 | ||
| + | |||
| − | + | ||
| − | + | ==항등식== | |
| − | < | + | * 자연수 <math>k\geq 2</math> , <math>1\leq i \leq k</math>에 대하여, 다음이 성립한다 |
| + | :<math>\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{q^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(q)_{n_1}...(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-q^r} </math> | ||
| + | 여기서 <math>j\leq k-1</math>이면 <math>N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}</math> , <math>j=k</math>이면 <math>N_j=0</math> | ||
| + | * 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다 | ||
| + | :<math>\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==k=2인 경우 : 로저스-라마누잔 항등식== | |
| − | + | * k=2인 경우, [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]을 얻는다 | |
| − | + | * i=1인 경우 | |
| − | * | + | :<math>H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = |
| − | + | \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} | |
| − | + | =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots</math> | |
| − | + | * i=2인 경우 | |
| − | + | :<math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | |||
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} | \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} | ||
| − | =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots</math> | + | =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots</math> |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==k=3인 경우== | |
| − | <math> | + | * i=1인 경우 |
| + | :<math>\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}</math> | ||
| + | * i=2인 경우 | ||
| + | :<math>\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 2 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}</math> | ||
| + | * i=3인 경우 | ||
| + | :<math>\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ==k=4인 경우== | |
| + | * k=4, i=3인 경우 [http://oeis.org/A000726 A000726] | ||
| + | :<math>\frac{q^{n_1^2+2 n_2 n_1+2 n_3 n_1+2 n_2^2+3 n_3^2+4 n_2 n_3+n_3}}{(q)_{n_1} (q)_{n_2} (q)_{n_3}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {9}}\frac{1}{1-q^r}=1+q+2 q^2+2 q^3+4 q^4+5 q^5+7 q^6+9 q^7+13 q^8+16 q^9+22 q^{10}+O(q^11)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ==얻어지는 이차형식== | |
| + | * <math>k=2</math>, <math>n_{1}^{2}</math> | ||
| + | * <math>k=3</math>, <math>(n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}</math> | ||
| + | * <math>k=4</math>, <math>(n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}</math> | ||
| + | * <math>k=5</math>, <math>(n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}</math> | ||
| + | ** 이차형식에 대응되는 행렬은 다음과 같이 주어진다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left( | ||
| + | \begin{array}{cccc} | ||
| + | 1 & 1 & 1 & 1 \\ | ||
| + | 1 & 2 & 2 & 2 \\ | ||
| + | 1 & 2 & 3 & 3 \\ | ||
| + | 1 & 2 & 3 & 4 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right) | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이는 [[양의 정부호 행렬(positive definite matrix)]]의 예이다 | ||
| + | |||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | * 1961 고든 | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * 1961 고든 | ||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=ramanujan+gordon+andrews | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=ramanujan+gordon+andrews | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| − | * | + | * |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | * | + | * [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]] |
| − | + | * [[정다각형의 대각선의 길이]] | |
| − | * [ | + | * [[베일리 격자(Bailey lattice)]] |
| − | + | * [[베일리 사슬(Bailey chain)]] | |
| − | * [ | + | |
| − | * [ | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUFkzQXUyeXNMTHc/edit | ||
| + | |||
| − | |||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 127번째 줄: | 111번째 줄: | ||
* http://www.proofwiki.org/wiki/ | * http://www.proofwiki.org/wiki/ | ||
* http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html | * http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Kazakov, Vladimir, Sebastien Leurent, and Dmytro Volin. “T-System on T-Hook: Grassmannian Solution and Twisted Quantum Spectral Curve.” arXiv:1510.02100 [hep-Th, Physics:math-Ph], October 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02100. | ||
| + | * Larson, Hannah. “Generalized Andrews-Gordon Identities.” arXiv:1506.05063 [math], June 16, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.05063. | ||
| + | * Capparelli, S., J. Lepowsky, and A. Milas. 2006. “The Rogers-Selberg Recursions, the Gordon-Andrews Identities and Intertwining Operators.” The Ramanujan Journal. An International Journal Devoted to the Areas of Mathematics Influenced by Ramanujan 12 (3): 379–397. doi:10.1007/s11139-006-0150-7. | ||
| + | * Richmond, Bruce, and George Szekeres. 1981. “Some Formulas Related to Dilogarithms, the Zeta Function and the Andrews-Gordon Identities.” Australian Mathematical Society. Journal. Series A 31 (3): 362–373. http://dx.doi.org/10.1017/S1446788700019492 | ||
| + | * Andrews, George E. 1974. “A General Theory of Identities of the Rogers-Ramanujan Type.” Bulletin of the American Mathematical Society 80: 1033–1052. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183536000 | ||
| + | * Andrews, George E. 1974. On the General Rogers-Ramanujan Theorem. Providence, R.I.: American Mathematical Society. http://www.math.psu.edu/andrews/pdf/58.pdf | ||
| + | ** Andrews, G. E. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974. | ||
| + | * G. Andrews, An analytic generalization of the Rogers–Ramanujan identities for odd moduli, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 71 (1974), 4082–4085. http://www.pnas.org/content/71/10/4082.short | ||
| + | * Gordon, Basil. 1961. “A Combinatorial Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities.” American Journal of Mathematics 83: 393–399. http://www.jstor.org/stable/2372962 | ||
| − | + | [[분류:q-급수]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 12월 28일 (월) 02:42 기준 최신판
개요
- 로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 일반화
- 모듈라 성질을 가지며(모듈라 형식(modular forms) 참조), q-초기하급수(q-hypergeometric series) 형태로 표현 가능
- 등각장론에서 c(2, 2k+1) minimal 모형에 의해 주어지는 표현의 캐릭터\[\chi_j(\tau)=q^{h_j-c/24}\prod_{n\neq 0,\pm(j+1)}(1-q^n)^{-1}\]
- 베일리 사슬(Bailey chain), 베일리 격자(Bailey lattice) 의 방법으로 증명할 수 있다
항등식
- 자연수 \(k\geq 2\) , \(1\leq i \leq k\)에 대하여, 다음이 성립한다
\[\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{q^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(q)_{n_1}...(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-q^r} \] 여기서 \(j\leq k-1\)이면 \(N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}\) , \(j=k\)이면 \(N_j=0\)
- 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다
\[\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}\]
k=2인 경우 : 로저스-라마누잔 항등식
- k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
- i=1인 경우
\[H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\]
- i=2인 경우
\[G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\]
k=3인 경우
- i=1인 경우
\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]
- i=2인 경우
\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 2 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]
- i=3인 경우
\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]
k=4인 경우
- k=4, i=3인 경우 A000726
\[\frac{q^{n_1^2+2 n_2 n_1+2 n_3 n_1+2 n_2^2+3 n_3^2+4 n_2 n_3+n_3}}{(q)_{n_1} (q)_{n_2} (q)_{n_3}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {9}}\frac{1}{1-q^r}=1+q+2 q^2+2 q^3+4 q^4+5 q^5+7 q^6+9 q^7+13 q^8+16 q^9+22 q^{10}+O(q^11)\]
얻어지는 이차형식
- \(k=2\), \(n_{1}^{2}\)
- \(k=3\), \((n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}\)
- \(k=4\), \((n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}\)
- \(k=5\), \((n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}\)
- 이차형식에 대응되는 행렬은 다음과 같이 주어진다
\[ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{array} \right) \]
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.proofwiki.org/wiki/
- http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html
관련논문
- Kazakov, Vladimir, Sebastien Leurent, and Dmytro Volin. “T-System on T-Hook: Grassmannian Solution and Twisted Quantum Spectral Curve.” arXiv:1510.02100 [hep-Th, Physics:math-Ph], October 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02100.
- Larson, Hannah. “Generalized Andrews-Gordon Identities.” arXiv:1506.05063 [math], June 16, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.05063.
- Capparelli, S., J. Lepowsky, and A. Milas. 2006. “The Rogers-Selberg Recursions, the Gordon-Andrews Identities and Intertwining Operators.” The Ramanujan Journal. An International Journal Devoted to the Areas of Mathematics Influenced by Ramanujan 12 (3): 379–397. doi:10.1007/s11139-006-0150-7.
- Richmond, Bruce, and George Szekeres. 1981. “Some Formulas Related to Dilogarithms, the Zeta Function and the Andrews-Gordon Identities.” Australian Mathematical Society. Journal. Series A 31 (3): 362–373. http://dx.doi.org/10.1017/S1446788700019492
- Andrews, George E. 1974. “A General Theory of Identities of the Rogers-Ramanujan Type.” Bulletin of the American Mathematical Society 80: 1033–1052. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183536000
- Andrews, George E. 1974. On the General Rogers-Ramanujan Theorem. Providence, R.I.: American Mathematical Society. http://www.math.psu.edu/andrews/pdf/58.pdf
- Andrews, G. E. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.
- G. Andrews, An analytic generalization of the Rogers–Ramanujan identities for odd moduli, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 71 (1974), 4082–4085. http://www.pnas.org/content/71/10/4082.short
- Gordon, Basil. 1961. “A Combinatorial Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities.” American Journal of Mathematics 83: 393–399. http://www.jstor.org/stable/2372962