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==개요==
  
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* <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴
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* [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
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* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]
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==q-이항계수==
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*  세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의:<math>yx=qxy,xq=qx,yq=qy</math>
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*  다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math>
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==하이젠베르크 대수와의 관계==
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* [[하이젠베르크 군과 대수]]
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* 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 <math>P,Q</math>
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:<math>
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[P,Q] = -i \hbar I
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</math>
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* 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의
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:<math>
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U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R}
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</math>
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* 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 ([[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]])
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:<math>
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U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta),
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</math>
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:<math>
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V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta)
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</math>
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:<math>
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U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha)
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</math>
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* <math>U(\alpha)=e^{i\alpha P}</math>, <math>V(\beta)=e^{i\alpha Q}</math>, <math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
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* 적당한 completion을 거쳐 바일 <math>C^{*}</math> 대수를 얻는다
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==realization==
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* <math>u,v</math>를 <math>x</math>를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
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:<math>
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\begin{aligned}
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uf(x)& :=&xf(x) \\
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vf(x)& :=&f(x/q)
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\end{aligned}
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</math>
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* <math>(uvf)(x)=x f(x/q)</math>
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* <math>q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)</math>
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* 따라서 <math>uv=qvu</math>
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[양자 조화진동자]]
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* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]
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* [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]
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* [[비가환 대수]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_algebra
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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==관련논문==
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* Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
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* Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
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* Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
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* Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” <em>Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)</em> 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
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*  Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.
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[[분류:q-급수]]
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[[분류:리군과 리대수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1069378 Q1069378]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:52 기준 최신판

개요



q-이항계수

  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
  • 다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]


하이젠베르크 대수와의 관계

\[ [P,Q] = -i \hbar I \]

  • 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의

\[ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} \]

\[ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), \] \[ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) \] \[ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) \]

  • \(U(\alpha)=e^{i\alpha P}\), \(V(\beta)=e^{i\alpha Q}\), \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
  • 적당한 completion을 거쳐 바일 \(C^{*}\) 대수를 얻는다


realization

  • \(u,v\)를 \(x\)를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자

\[ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} \]

  • \((uvf)(x)=x f(x/q)\)
  • \(q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)\)
  • 따라서 \(uv=qvu\)


메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
  • Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
  • Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
  • Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
  • Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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