"에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화"의 두 판 사이의 차이

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* <math> A = A^\dagger</math> 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
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** <math>A^\dagger</math> 는 A의 conjugate tranpose
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*  에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다
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*  에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
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* [[대칭행렬의 대각화|대칭행렬]] 은 실수계수 에르미트 행렬이다
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* <math>n\times n</math> 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
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** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
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** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
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** 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다
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<math>\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}</math>, <math>\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}</math>
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==실수의 고유값==
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* <math>v\neq 0, Hv=\lambda v</math>라 두자.
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* <math>\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle </math>
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* <math>\lambda=\bar{\lambda}</math>
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==고유벡터의 직교==
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* <math>v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu</math>라 두자.
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* <math>\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle </math>
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* 따라서 <math>\langle v,w\rangle =0 </math>
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==예==
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*  에르미트 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cccc}  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1+i \\  0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math> 
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*  행렬:<math>U=\left( \begin{array}{cccc}  0 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터이며, <math>U^{\dagger}=U^{-1}</math> 가 성립한다.
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*  <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다:<math>D=\left( \begin{array}{cccc}  -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math>   
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[Spin(3)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxREpNTlBxUnEzalk/edit
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==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=hermitian}}
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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[[분류:선형대수학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q652941 Q652941]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hermitian'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
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* [{'LOWER': 'self'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'adjoint'}, {'LEMMA': 'matrix'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:53 기준 최신판

개요

  • \( A = A^\dagger\) 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
    • \(A^\dagger\) 는 A의 conjugate tranpose
  • 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 \(U=e^{i H}\) 를 얻을 수 있다
  • 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
  • 대칭행렬 은 실수계수 에르미트 행렬이다



spectral 정리

  • \(n\times n\) 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다



예

\(\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}\), \(\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}\)


실수의 고유값

  • \(v\neq 0, Hv=\lambda v\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle \)
  • \(\lambda=\bar{\lambda}\)


고유벡터의 직교

  • \(v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle \)
  • 따라서 \(\langle v,w\rangle =0 \)


예

  • 에르미트 행렬\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)\]
  • 행렬\[U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)\] 의 각 열은 A의 고유벡터이며, \(U^{\dagger}=U^{-1}\) 가 성립한다.
  • \(D=U^{\dagger}AU\) 는 대각행렬이다\[D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역



사전 형태의 자료


리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hermitian'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
  • [{'LOWER': 'self'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'adjoint'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
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