"원분체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 13개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | * [[ | + | * <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 [[데데킨트 제타함수]]:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math> |
| + | * [[디리클레 L-함수]]의 곱으로 분해할 수 있다 | ||
| + | * [[디리클레 캐릭터]]의 conductor 개념이 중요 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==데데킨트 제타함수의 분해== | |
| − | * <math>K | + | * <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> |
| + | * modulo n 인 [[디리클레 캐릭터]] 들의 집합 <math>\hat{G}</math>을 생각하자 | ||
| + | * 각 [[디리클레 캐릭터]]<math>\chi\in \hat{G}</math> 는 적당한 conductor <math>f|n</math> 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character <math>\chi_{f}</math>로부터 얻어진다. | ||
| − | + | ;정리 | |
| − | + | 다음이 성립한다 | |
| − | + | :<math>\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)</math> | |
| − | + | ;따름정리 | |
| − | + | [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | < | + | ==예== |
| + | ===<math>K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 경우=== | ||
| + | * <math>d_K=-3</math> | ||
| + | * <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}</math> | ||
| + | * <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math>:<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)</math> | ||
| + | * <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1 | ||
| + | * <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 3 | ||
| + | * 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음 | ||
| + | :<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ===<math>K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 경우=== | |
| − | + | * <math>d_K=-4</math> | |
| − | + | * <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math> | |
| − | + | * <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math>:<math>\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)</math> | |
| − | + | * <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1 | |
| − | + | * <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 4 | |
| + | * 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음 | ||
| + | :<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | ||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
* http://www.springerlink.com/content/q8m1181vwp429788/fulltext.pdf section 10.5.4 | * http://www.springerlink.com/content/q8m1181vwp429788/fulltext.pdf section 10.5.4 | ||
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[디리클레 L-함수]] | * [[디리클레 L-함수]] | ||
* [[완전잉여계와 기약잉여계]] | * [[완전잉여계와 기약잉여계]] | ||
| + | * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSTJydWdXWDRyckU/edit | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | [[분류:정수론]] | |
| − | |||
| − | |||
2014년 1월 10일 (금) 03:58 기준 최신판
개요
- \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]
- 디리클레 L-함수의 곱으로 분해할 수 있다
- 디리클레 캐릭터의 conductor 개념이 중요
데데킨트 제타함수의 분해
- \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)
- modulo n 인 디리클레 캐릭터 들의 집합 \(\hat{G}\)을 생각하자
- 각 디리클레 캐릭터\(\chi\in \hat{G}\) 는 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character \(\chi_{f}\)로부터 얻어진다.
- 정리
다음이 성립한다 \[\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)\]
- 따름정리
예
\(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우
- \(d_K=-3\)
- \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
- \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\]
- \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
- \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
- 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]
\(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우
- \(d_K=-4\)
- \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
- \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\]
- \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
- \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
- 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]
역사
메모
- http://www.springerlink.com/content/q8m1181vwp429788/fulltext.pdf section 10.5.4
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들