"자코비의 네 제곱수 정리"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 02:53 기준 최신판

개요

라그랑지의 네 제곱수 정리는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
자코비는 자코비 세타함수 를 이용하여 주어진 자연수가 네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
모듈라 형식의 이론으로 설명할 수 있다

세타함수와 네 제곱수의 합

네 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수에 대한 생성함수로서 세타함수를 사용
자코비 세타함수

\[\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau},\quad q=e^{2\pi i \tau}\]

\(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\]
세타함수의 네 제곱을 취하면 자연수를 네 제곱으로 표현하는 방법에 대한 생성함수를 얻는다

\[ \begin{aligned} \theta^4(x)& =(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n \\ & =1 + 8 x + 24 x^2 + 32 x^3 + 24 x^4 + 48 x^5 + 96 x^6 + 64 x^7 + 24 x^8+\cdots \end{aligned} \] 여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수

정리

\[r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\]

예

\(r_4(1)=8\)\[(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\]이므로 \[2\times {4\choose 1}=8\]
\(r_4(2)=24\)\[(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2\] ... 으로부터\[4\times {4\choose 2}=24\]
\(r_4(3)=32\)\[(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3\] ... 으로부터\[8\times {4\choose 1}=32\]

\(r_4(4)=24\)\[(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4\] ... 으로부터\[16+2 \times {4\choose 1}=24\]

모듈라 형식을 이용한 증명

아래에서 \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\) 이다. \(r_4(n)\)의 생성함수를 세타함수의 거듭제곱으로 나타내자. \[\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\] 세타함수의 데데킨트 에타함수 표현을 이용하자. (자코비 세타함수의 해당부분 참조) \[\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}\] \[\theta^4(\tau)=\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}\] \(\theta^4(\tau)\)는 군 \(\Gamma(2)\)에 대한 weight 2인 모듈라 형식(modular forms)이다. 한편 \(\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}\)는 \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수이다. 적당한 상수 \(c\)에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[\frac{d}{d\tau}\log \frac{\eta(2\tau)}{\eta(\frac{\tau}{2})}=c\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}=c\theta^4(\tau)\] 이제 \[\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}=x\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x^{4n})^8}{(1-x^{n})^8}\]에 미분연산자 \(x\frac{d}{dx}\log\)(즉 로그를 취한뒤, 미분 후, x 곱하기) 을 취하면, \[1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}-8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4nx^{4n}}{1-x^{4n}}=1+8\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4\nmid d}d)q^n\]를 얻는다. 따라서 \[r_4(n)=8\sum_{d|n,4\nmid d}d.\]■

타원함수론을 이용한 증명

\[\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n\] \[A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n\] 여기서 \(\sigma(n)\) 에 대해서는 자연수의 약수의 합 항목 참조. \[B(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot \frac{2mq^{2m}}{1-q^{2m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot{2mq^{2m}}(1+q^{2m}+q^{4m}+\cdots)=\sum_{m=1,n=1}^{\infty}m(1+(-1)^m){q^{2mn}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4|d}d)q^n\] 이제 \(\theta^4(q)=1+8A(q)-8B(q)\) 를 증명하면 된다.

역사

수학사 연표

메모

자코비 세타함수의 삼중곱 정리로부터, 다음을 얻는다. \(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)\)

여기서 \(x=e^{\pi i \tau}\).

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-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
+* [[라그랑지의 네 제곱수 정리]]는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
+* 자코비는 [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 주어진 자연수가  네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
+* 모듈라 형식의 이론으로 설명할 수 있다
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+==세타함수와 네 제곱수의 합==
+*  네 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수에 대한 생성함수로서 세타함수를 사용
+* [[자코비 세타함수]]
+:<math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau},\quad q=e^{2\pi i \tau}</math>
+* <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 로 두면,:<math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}</math>
+*  세타함수의 네 제곱을 취하면 자연수를 네 제곱으로 표현하는 방법에 대한 [[생성함수]]를 얻는다
+:<math>
+\begin{aligned}
+\theta^4(x)& =(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n \\
+& =1 + 8 x + 24 x^2 + 32 x^3 + 24 x^4 + 48 x^5 + 96 x^6 + 64 x^7 + 24 x^8+\cdots
+\end{aligned}
+</math>
+여기서 <math>r_4(n)</math> 는 <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수
+;정리
+:<math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math>
-* [[자코비 세타함수]]<br>[[자코비 세타함수|]]<math>\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math>, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
+===예===
-* <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 로 두면,<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}</math><br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br> 여기서 <math>r_4(n)</math> 는 <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수<br>
+* <math>r_4(1)=8</math>:<math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math>이므로 :<math>2\times {4\choose 1}=8</math>
+* <math>r_4(2)=24</math>:<math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2</math> ... 으로부터:<math>4\times {4\choose 2}=24</math>
+* <math>r_4(3)=32</math>:<math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3</math>   ... 으로부터:<math>8\times {4\choose 1}=32</math>
-<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">정리</h5>
+* <math>r_4(4)=24</math>:<math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4</math> ... 으로부터:<math>16+2 \times {4\choose 1}=24</math>
-(정리) [[자코비의 네 제곱수 정리|자코비의 네제곱수 정리]]
-<math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math>
+==모듈라 형식을 이용한 증명==
+아래에서 <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 이다.
+<math>r_4(n)</math>의 생성함수를 세타함수의 거듭제곱으로 나타내자.
+:<math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math>
+세타함수의 [[데데킨트 에타함수]] 표현을 이용하자. ([[자코비 세타함수]]의 해당부분 참조)
+:<math>\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}</math>
+:<math>\theta^4(\tau)=\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}</math>
+<math>\theta^4(\tau)</math>는 군 <math>\Gamma(2)</math>에 대한 weight 2인 [[모듈라 형식(modular forms)]]이다.
+한편 <math>\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}</math>는 <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수이다.
+적당한 상수 <math>c</math>에 대하여 다음 등식이 성립한다.
+:<math>\frac{d}{d\tau}\log \frac{\eta(2\tau)}{\eta(\frac{\tau}{2})}=c\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}=c\theta^4(\tau)</math>
+이제
+:<math>\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}=x\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x^{4n})^8}{(1-x^{n})^8}</math>에 미분연산자  <math>x\frac{d}{dx}\log</math>(즉 로그를 취한뒤, 미분 후, x 곱하기) 을 취하면,
+:<math>1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}-8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4nx^{4n}}{1-x^{4n}}=1+8\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4\nmid d}d)q^n</math>를 얻는다.
+따라서 :<math>r_4(n)=8\sum_{d|n,4\nmid d}d.</math>■
+==타원함수론을 이용한 증명==
+:<math>\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n</math>
+:<math>A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n</math>
+여기서 <math>\sigma(n)</math> 에 대해서는 [[자연수의 약수의 합]] 항목 참조.
+:<math>B(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot \frac{2mq^{2m}}{1-q^{2m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot{2mq^{2m}}(1+q^{2m}+q^{4m}+\cdots)=\sum_{m=1,n=1}^{\infty}m(1+(-1)^m){q^{2mn}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4|d}d)q^n</math>
+이제 <math>\theta^4(q)=1+8A(q)-8B(q)</math> 를 증명하면 된다.
-<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">예</h5>
+==역사==
+* [[수학사 연표]]
-* <math>r_4(1)=8</math><br><math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math>이므로 <br><math>8\times {4\choose 1}=32</math><br>
-* <math>r_4(2)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2</math><br> ... 으로부터<br><math>4\times {4\choose 2}=24</math><br>
-* <math>r_4(3)=32</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3</math><br>  <br> ... 으로부터<br><math>8\times {4\choose 1}=32</math><br>
-* <math>r_4(4)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4</math><br> ... 으로부터<br><math>16+2 \times {4\choose 1}=24</math><br>
+==메모==
+[[자코비 세타함수]]의 삼중곱 정리로부터, 다음을 얻는다.
+<math>\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)</math>
+여기서 <math>x=e^{\pi i \tau}</math>.
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+==관련된 항목들==
+* [[라그랑지의 네 제곱수 정리]]
+* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
+* [[자연수의 약수의 합]]
+* [[자코비 세타함수]]
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+==계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUHlpRnYtSU8yNEE/edit
+* http://aleph.sagemath.org/?q=329834bd-a2df-4abe-aa26-2ff806674362&lang=sage
+* [http://aleph.sagemath.org/?q=899fa122-c523-422d-8a14-03a071dd1f4c&lang=sage 헤케 연산자]
+* http://oeis.org/A000118
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+==관련논문==
+* [http://www.jstor.org/stable/2043837 A Simple Derivation of Jacobi's Four-Square Formula]
+** John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 85, No. 3 (Jul., 1982), pp. 323-326
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+[[분류:초등정수론]]
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
-*  도서내검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
-*  도서검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
-* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
-* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
-* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]

"자코비의 네 제곱수 정리"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 02:53 기준 최신판

목차

개요

세타함수와 네 제곱수의 합

예

모듈라 형식을 이용한 증명

타원함수론을 이용한 증명

역사

메모

관련된 항목들

계산 리소스

관련논문

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