"페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
소수 \(p\)에 대하여, \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능
소수 \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 의 곱으로 표현되는 자연수는 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능

두 제곱의 합으로 표현되는 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

자연수 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+y^2=n\)의 해의 개수를 \(r_2(n)\)라 하자
\(\{r_2(n)\}_{n\geq 0}\)은 다음과 같은 수열이다

\[ 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \ 0, 0, 12,\cdots \]

정리

\[r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 \(n\)이 홀수이면 \(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\), \(n\)이 짝수이면 \(\chi(n)=0\).

증명

이차형식 \(Q(x,y)=x^2+y^2\)에 대한 Epstein 제타함수 \(\zeta_Q(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}} \] 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4 \] 한편 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) \[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec} \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, \(L_{-4}(s)\)는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 \[ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} \] 따라서 \(r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\). ■

400이하의 소수

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

4 로 나눈 나머지가 1인 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

\(x^2+2y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379

8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수

3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379

\(x^2+3y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

\(x^2+4y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397

역사

수학사 연표

메모

http://mathoverflow.net/questions/191334/growth-of-r-2n

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"페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

목차

개요

두 제곱의 합으로 표현되는 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수

자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

400이하의 소수

역사

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]
+* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
+* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 이면 모두 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
+* 소수 <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 의 곱으로 표현되는 자연수는 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
+==두 제곱의 합으로 표현되는 정수==
+===두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수===
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+* 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400
-* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 소수 <math>p</math>에 대한 문제
-* <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 이면 모두 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
-* 소수 <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 의 곱으로 표현되는 자연수는 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
-<h5>자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수</h5>
-*  디오판투스 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 해의 개수 <math>r_2(n)</math><br><math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math><br> 여기서 <math>n</math>이 홀수이면 <math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</math>,  <math>n</math>이 짝수이면 <math>\chi(n)=0</math>.<br>
-* 이차수체에 대한 [[데데킨트 제타함수]]의 분해로부터 얻어지는 결과
+===두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수===
+* 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
-<h5>두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수</h5>
-* 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400
+==자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수==
+* 자연수 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 디오판투스 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 해의 개수를 <math>r_2(n)</math>라 하자
+* <math>\{r_2(n)\}_{n\geq 0}</math>은 다음과 같은 수열이다
+:<math>
+, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \
+, 0, 12,\cdots
+</math>
+;정리
+:<math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>
+여기서 <math>n</math>이 홀수이면 <math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</math>,  <math>n</math>이 짝수이면 <math>\chi(n)=0</math>.
+;증명
+이차형식 <math>Q(x,y)=x^2+y^2</math>에 대한 [[Epstein 제타함수]] <math>\zeta_Q(s)</math>는 다음을 만족한다
+:<math>
+\zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}}
+</math>
+수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 [[데데킨트 제타함수]] <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음을 만족한다
+:<math>
+\zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4
+</math>
+한편 <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
+:<math>
+\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec}
+</math>
+여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], <math>L_{-4}(s)</math>는 아래의 [[디리클레 L-함수]]
+:<math>L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}</math>
+\ref{dec}로부터 다음을 얻는다
+:<math>
+\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}}
+</math>
+따라서 <math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>. ■
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">400이하의 소수</h5>
+==400이하의 소수==
 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
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-<math>x^2+y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
-, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
 로 나눈 나머지가 1인 소수
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 , 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
-그런데 사실 이야기가 여기서 끝나는 것이 아니다.
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 , 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379
 로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수
@@ 83번째 줄: / 87번째 줄: @@
 , 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397
 로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수
@@ 92번째 줄: / 96번째 줄: @@
 <math>x^2+4y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
 , 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
 으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)
@@ 103번째 줄: / 107번째 줄: @@
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-<h5>재미있는 사실</h5>
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-<h5>역사</h5>
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+==역사==
+* [[수학사 연표]]
-<h5>메모</h5>
+==메모==
+* http://mathoverflow.net/questions/191334/growth-of-r-2n
-<h5>관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들==
 * [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
 * [[복소수]]
-*
+* [[이차형식 x^2+5y^2]]
+* [[이차형식 x^2+27y^2]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==사전 형태의 자료==
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 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares]
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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-<h5>관련논문</h5>
+==관련논문==
-* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares]<br>
+* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime <math>p\equiv 1(\mod 4)</math> Is a Sum of Two Squares]
 ** D. Zagier, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+[[분류:에세이]]
-* http://dx.doi.org/
+[[분류:초등정수론]]
-<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
-*  도서내검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
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-* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q914517 Q914517]
-* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'theorem'}, {'LOWER': 'on'}, {'LOWER': 'sums'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'two'}, {'LEMMA': 'square'}]
+* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
+* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
+* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': '4n+1'}, {'LEMMA': 'theorem'}]