"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:06 기준 최신판

개요

\(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
\(x\)-축에 접한다

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)
\(p,q\)가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수이다.
서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- \(\frac35 , \frac23\)
- \(\frac35 , \frac58\)
- \(\frac58, \frac23\)
- \(\frac58, \frac{7}{11}\)
서로 접하는 세 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까
- \(\frac35, \frac58 , \frac23\)
- \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)
- \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)
- \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
패리 수열(Farey series)

관찰의 증명

정리

두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.

증명

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(P/Q\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 다음이 성립한다 \[ \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} \]

여기서,

i. \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다.

iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.

왜냐하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 \(Pq -pQ = 0\) 이면, \(p/q \ne P/Q\) 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■

정리

\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자. 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\)이 접하면, \(|ad - bc| = 1\) 이 성립한다.

증명

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■

3. Farey Series 와의 관계

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles

리뷰, 에세이, 강의노트

애기똥풀, 파일:3210238-Ford Circle.pdf
이광연, 바보셈에서 페리수열, 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
+* <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함
+* <math>x</math>-축에 접한다
+[[파일:포드 원 (Ford Circles)1.gif]]
+==관찰==
+* 위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 <math>x</math> 좌표이다.)
+* <math>p,q</math>가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수이다.
+* 서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
+* 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
+** <math>\frac35 , \frac23</math>
+** <math>\frac35 , \frac58</math>
+** <math>\frac58, \frac23</math>
+** <math>\frac58, \frac{7}{11}</math>
+* 서로 접하는 세 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까
+** <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>
+** <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>
+** <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>
+** <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
+* [[패리 수열(Farey series)]]
-<h5>개요</h5>
+==관찰의 증명==
-[[Media:|]]
+;정리
+두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
-* <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함<br>
+;증명
-** <math>y=0</math>에 접함
+아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>P/Q</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
+[[파일:포드 원 (Ford Circles)3.gif]]
-<h5>관찰</h5>
+위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
-위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 <math>x</math> 좌표이다.)
-* <math>p,q</math>가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
+<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 다음이 성립한다
-* 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
+:<math>
-*  접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?<br>
+\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}
-** <math>\frac35 , \frac23</math>      <math>\frac35 , \frac58</math>      <math>\frac58, \frac23</math>      <math>\frac58, \frac{7}{11}</math>   ...
+</math>
-** <math>10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1</math>
-*  서로 접하는 세 포드 원 사이에는?<br>
-** <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>      <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>      <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>      <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
-** 뭔가 발견했는가?
-이제 [[패리 수열(Farey series)|Farey series]] 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)
+여기서,
-* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
+i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
+ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다.
-<h5>관찰의 증명</h5>
-# 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.
-Proof.
-아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>q/p</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>Q/P</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
-[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]
-위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
-<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{q}{p}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{Q}{P}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{Q}{P},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. 여기서,
-i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
-ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)
 iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다.
-왜냐 하면, <math>p,q, P, Q</math> 는 자연수이므로 결국 <math>Pq -pQ = 0</math> 이어야 하는데, <math>p/q \ne P/Q</math> 이기 때문이다.
+왜냐하면, <math>p,q, P, Q</math> 는 자연수이므로 <math>Pq -pQ = 0</math> 이면, <math>p/q \ne P/Q</math> 에 모순이기 때문이다.
-위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.
-. 접하는 두 포드 원 사이의 관계
-<math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 포드 원을 <math>C[p/q]</math> 라고 쓰자.
+위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■
-접하는 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math> 가 있으면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이다.
-Proof.
+;정리
+<math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 포드 원을 <math>C[p/q]</math> 라고 쓰자. 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math>이 접하면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이 성립한다.
-관찰 1 의 증명 중 ii) 에서 거저 먹었다.
+;증명
+관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.  ■
 . Farey Series 와의 관계
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-* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions]<br>
-** L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
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-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles
-* [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열]<br>
-** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
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+==리뷰, 에세이, 강의노트==
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
+* 애기똥풀, [[파일:3210238-Ford Circle.pdf]]
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
+* 이광연, [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열], 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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+* Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
+* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
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