"Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리"의 두 판 사이의 차이
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* <math>\mathbb H</math> : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합) | * <math>\mathbb H</math> : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합) | ||
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곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면, 그 넓이는 <math>\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다. | 곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면, 그 넓이는 <math>\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다. | ||
| − | fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math> | + | fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math> 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자. |
| − | + | <math>\mathbb H/\Gamma</math> 의 면적은 다음과 같다 | |
| + | :<math>A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})</math> | ||
| + | 여기서 <math>{l_i}</math> 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임. | ||
| − | <math> | + | 다음을 얻는다. |
| + | :<math>{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}</math> | ||
| − | + | 오일러의 정리 <math>v-e+1=2-2g</math> 로부터 , <math>e-1=v+2g-2</math>를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다. | |
| + | :<math>{A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})</math> | ||
| − | + | <math>A>0</math>이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다 | |
| + | :<math>-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0</math> | ||
| − | + | <math>{l_i}\geq2</math> 이므로, <math>v\geq 3</math> | |
| − | + | <math>v=3</math> 이면, <math>1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0</math> 는 <math>l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 의 경우에 최소값을 갖는다. | |
| − | + | 따라서, 최소값은 <math>g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 인 경우에 얻어지며 그 값은 <math>{A \over{2\pi}}= 1/42</math>이다. | |
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이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실, | 이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실, | ||
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| − | 로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7% | + | 로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29 _triangle _group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 |
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| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
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| − | + | * [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] | |
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리]] | |
| + | * [[모듈라 군(modular group)]] | ||
| + | * [[클라인의 4차곡선]] | ||
| + | * [[3차원 유한회전군의 분류|SO(3) and SU(2) 의 유한부분군]] | ||
| + | * [[쌍곡기하학]] | ||
| + | * [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Riemann mapping theorem and the uniformization theorem]] | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| − | * | + | * A. Murray Macbeath, Hurwitz Groups and Surfaces (in [http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve]) p103-113 |
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2021년 2월 17일 (수) 03:52 기준 최신판
지겔의 정리
- \(\Gamma\) : Fuchsian 군
- \(\mathbb H\) : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)
- 정리 (지겔)
- fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\)의 면적은 \(\pi \over 21\) 이상이다.
증명
곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면, 그 넓이는 \(\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.
fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\) 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.
\(\mathbb H/\Gamma\) 의 면적은 다음과 같다 \[A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})\] 여기서 \({l_i}\) 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.
다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}\]
오일러의 정리 \(v-e+1=2-2g\) 로부터 , \(e-1=v+2g-2\)를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})\]
\(A>0\)이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다 \[-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0\]
\({l_i}\geq2\) 이므로, \(v\geq 3\)
\(v=3\) 이면, \(1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0\) 는 \(l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 의 경우에 최소값을 갖는다.
따라서, 최소값은 \(g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 인 경우에 얻어지며 그 값은 \({A \over{2\pi}}= 1/42\)이다. (증명끝)
메모
\( Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma\)
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
\( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}\)
로 주어진다. 이를 _triangle _group (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
\( Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}\)
한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도
\( \frac{\pi}{42}\)
의 두배 이상은 되어야 한다. 즉
\(Area (U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
- 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
- 모듈라 군(modular group)
- 클라인의 4차곡선
- SO(3) and SU(2) 의 유한부분군
- 쌍곡기하학
- Riemann mapping theorem and the uniformization theorem
관련논문
- A. Murray Macbeath, Hurwitz Groups and Surfaces (in The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve) p103-113