"푸앵카레의 추측"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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*  푸앵카레의 추측 단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다
  
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* [[푸앵카레의 추측]]
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==단일연결된 공간==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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*  단일연결된 공간(simply connected space)
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** 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
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* 2차원 구면은 단일연결되어있음.
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* 도넛은 단일연결되어있지 않음.
  
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* 푸앵카레의 추측<br> 단순연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다<br>  <br>
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==2차원 구면의 단일연결성==
  
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* 구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음
  
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<h5>단순연결된 공간[[대수적위상수학|]]</h5>
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[[파일:4603403-800px-P1S2all.jpg]]
  
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* 단순연결된 공간이 무엇인지 알기 위해서느
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* 호모토피<br>
 
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**  공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.<br>
 
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*** 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
 
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** 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
 
  
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[/pages/1954084/attachments/888134 180px-Homotopy_between_two_paths.png]
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*  fundamental group<br>
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==도넛의 단일연결성==
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** 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
 
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** 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
 
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** 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
 
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** 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
 
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** 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
 
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** 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
 
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*  단일연결된 공간(simply connected space)<br>
 
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**  모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.<br>
 
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*** 구면은 단일연결되어있음.
 
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*** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
 
  
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* 도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다
  
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<h5>다양체(manifold)</h5>
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[[파일:4603403-180px-Torus_cycles.png]]
  
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*  1차원 다양체 = 곡선<br>
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==다양체(manifold)==
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*  1차원 다양체 = 곡선
 
** 원, 직선, ...
 
** 원, 직선, ...
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*  2차원 다양체 = 곡면<br>
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*  2차원 다양체 = 곡면
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** 평면, 구면, 토러스, 
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** 평면, 구면, 도넛,  
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*  n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화<br>
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*  n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
 
** 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다
 
** 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다
  
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<h5>위상적으로 같음</h5>
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==위상적으로 같음==
  
 
* homeomorphic, homeomorphism
 
* homeomorphic, homeomorphism
 
* 도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다
 
* 도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
  
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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* 1904 푸앵카레의 추측
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* 1982 써스톤 geometrization 추측
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* 1982 리차드 해밀턴
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* 2006 그리고리 페렐만
  
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<h5>역사</h5>
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==메모==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [http://lecture.math.inha.ac.kr/%7Ejhyang/paper/EPerelman.pdf http://lecture.math.inha.ac.kr/~jhyang/paper/EPerelman.pdf]
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* [http://nepalimath.com/poincare.aspx ]http://nepalimath.com/poincare.aspx
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* http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/others/perelman/introperelman.html
  
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<h5>메모</h5>
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==관련된 항목들==
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
  
 
* [[대수적위상수학]]
 
* [[대수적위상수학]]
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* [[지식채널e '오일러의 왼쪽 눈']]
 
* [[지식채널e '오일러의 왼쪽 눈']]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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==수학용어번역==
  
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=simply+connected
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EC%95%B5%EC%B9%B4%EB%A0%88_%EC%B6%94%EC%B8%A1 http://ko.wikipedia.org/wiki/푸앵카레_추측]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EC%95%B5%EC%B9%B4%EB%A0%88_%EC%B6%94%EC%B8%A1 http://ko.wikipedia.org/wiki/푸앵카레_추측]
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
  
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<h5>관련논문</h5>
 
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://dx.doi.org/
 
  
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* Curtis T. McMullen, [http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-2011-01329-5%20 The evolution of geometric structures on 3-manifolds] Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 259-274.
 +
*  Tao, Terence. 2006. “Perelman’s proof of the Poincar’e conjecture: a nonlinear PDE perspective”. <em>math/0610903</em> (10월 29). http://arxiv.org/abs/math/0610903.
 +
* Shing-Tung Yau, [http://www.doctoryau.com/papers/yau_poincare.pdf Structure of Three-Manifolds– Poincar´e and geometrization conjectures] 2006
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==관련기사==
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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*  도서내검색<br>
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%8E%98%EB%A0%90%EB%A7%8C http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=페렐만]
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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<h5>관련기사</h5>
 
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q912058 Q912058]
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===Spacy 패턴 목록===
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<h5>블로그</h5>
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* [{'LOWER': 'simply'}, {'LOWER': 'connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
−
 
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* [{'LOWER': '1-connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
* [{'LOWER': '1-simply'}, {'LOWER': 'connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 
−
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
 

2021년 2월 17일 (수) 05:07 기준 최신판

개요

  • 푸앵카레의 추측 단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다



단일연결된 공간

  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
  • 2차원 구면은 단일연결되어있음.
  • 도넛은 단일연결되어있지 않음.


2차원 구면의 단일연결성

  • 구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음

4603403-800px-P1S2all.jpg



도넛의 단일연결성

  • 도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다

4603403-180px-Torus cycles.png



다양체(manifold)

  • 1차원 다양체 = 곡선
    • 원, 직선, ...
  • 2차원 다양체 = 곡면
    • 평면, 구면, 도넛,
  • n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
    • 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다



위상적으로 같음

  • homeomorphic, homeomorphism
  • 도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다




역사

  • 수학사 연표
  • 1904 푸앵카레의 추측
  • 1982 써스톤 geometrization 추측
  • 1982 리차드 해밀턴
  • 2006 그리고리 페렐만



메모



관련된 항목들



수학용어번역



사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련기사

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'simply'}, {'LOWER': 'connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
  • [{'LOWER': '1-connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
  • [{'LOWER': '1-simply'}, {'LOWER': 'connected'}, {'LEMMA': 'space'}]
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