"양자 바일 대수와 양자평면"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:52 기준 최신판

개요

\(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

q-이항계수

세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]

하이젠베르크 대수와의 관계

하이젠베르크 군과 대수
하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 \(P,Q\)

\[ [P,Q] = -i \hbar I \]

다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의

\[ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} \]

이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 (베이커-캠벨-하우스도르프 공식)

\[ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), \] \[ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) \] \[ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) \]

\(U(\alpha)=e^{i\alpha P}\), \(V(\beta)=e^{i\alpha Q}\), \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
적당한 completion을 거쳐 바일 \(C^{*}\) 대수를 얻는다

realization

\(u,v\)를 \(x\)를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자

\[ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} \]

\((uvf)(x)=x f(x/q)\)
\(q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)\)
따라서 \(uv=qvu\)

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

ID : Q1069378

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

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 ==개요==
-* <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴<br>
+* <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴
 * [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
-* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]<br>
+* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]
 ==q-이항계수==
-*  세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의:<math>yx=qxy,xq=qx,yq=qy</math><br>
+*  세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의:<math>yx=qxy,xq=qx,yq=qy</math>
 *  다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math>
 ==하이젠베르크 대수와의 관계==
 * [[하이젠베르크 군과 대수]]
-* 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 $P,Q$
+* 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 <math>P,Q</math>
-$$
+:<math>
 [P,Q] = -i \hbar I
-$$
+</math>
 * 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의
-$$
+:<math>
 U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R}
-$$
+</math>
-* 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다
+* 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 ([[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]])
-$$
+:<math>
 U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta),
-$$
+</math>
-$$
+:<math>
 V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta)
-$$
+</math>
-$$
+:<math>
-U(\alpha)V(\beta)=e^{-i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha)
+U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha)
-$$
+</math>
-* $U(\alpha)=e^{i\alpha P}$, $V(\beta)=e^{i\alpha Q}$, $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
+* <math>U(\alpha)=e^{i\alpha P}</math>, <math>V(\beta)=e^{i\alpha Q}</math>, <math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
-* 적당한 completion을 거쳐 바일 $C^{*}$ 대수를 얻는다
+* 적당한 completion을 거쳐 바일 <math>C^{*}</math> 대수를 얻는다
 ==realization==
-* $u,v$를 $x$를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
+* <math>u,v</math>를 <math>x</math>를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
-$$
+:<math>
 \begin{aligned}
 uf(x)& :=&xf(x) \\
 vf(x)& :=&f(x/q)
 \end{aligned}
-$$
+</math>
-* $(uvf)(x)=x f(x/q)$
+* <math>(uvf)(x)=x f(x/q)</math>
-* $q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)$
+* <math>q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)</math>
-* 따라서 $uv=qvu$
+* 따라서 <math>uv=qvu</math>
-==역사==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사 연표]]
 ==메모==
-* http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula
 * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 ==관련된 항목들==
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 * [[양자 조화진동자]]
 * [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]
+* [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]
+* [[비가환 대수]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
 ==관련논문==
+* Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
+* Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
 * Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
 * Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” <em>Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)</em> 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
-*  Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.<br>
+*  Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” <em>Communications in Algebra</em> 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.
 [[분류:q-급수]]
+[[분류:리군과 리대수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1069378 Q1069378]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]