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| + | * 거듭제곱의 전개:<math>(x+y)=x+y</math>:<math>(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2</math>:<math>(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3</math>:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math> | ||
| + | * 여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다 | ||
| + | * [[양자 바일 대수와 양자평면]] 항목 참조 | ||
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| − | + | * 정의 :<math>{n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math> 풀어쓰면 다음과 같다 :<math>{n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}</math> | |
| + | * 예 :<math>{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3</math>:<math>{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4</math>:<math>{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4</math>:<math>{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math> | ||
| + | * <math>n</math>이 작은 경우에 대한 [[q-이항계수의 목록]] 참조 | ||
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| − | + | * [[이항계수와 조합]]에서 얻은 식의 q-analogue:<math>{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q</math> | |
| + | * 예 [[q-이항계수의 목록]] 항목 참조:<math>{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q</math>:<math>1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math> | ||
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| − | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=q-binomial+coefficient | |
| + | * http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[이항계수와 조합]] | |
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcDg4anlqZ051bW8/edit | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * Igor Pak, Greta Panova, Bounds on Kronecker and <math>q</math>-binomial coefficients, arXiv:1410.7087 [math.CO], October 26 2014, http://arxiv.org/abs/1410.7087 | ||
| + | * Dhand, Vivek. 2014. “A Combinatorial Proof of Strict Unimodality for <math>q</math>-Binomial Coefficients.” arXiv:1402.1199 [math]. http://arxiv.org/abs/1402.1199. | ||
| + | * Pak, Igor, and Greta Panova. 2013. “Strict Unimodality of <math>q</math>-Binomial Coefficients.” Comptes Rendus Mathématique. Académie Des Sciences. Paris 351 (11-12): 415–418. doi:10.1016/j.crma.2013.06.008. | ||
| + | * Kirillov, Anatol N. 1992. “Unimodality of Generalized Gaussian Coefficients.” Comptes Rendus de l’Académie Des Sciences. Série I. Mathématique 315 (5): 497–501. | ||
| + | * O’Hara, Kathleen M. 1990. “Unimodality of Gaussian Coefficients: A Constructive Proof.” Journal of Combinatorial Theory. Series A 53 (1): 29–52. doi:10.1016/0097-3165(90)90018-R. | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial_coefficient |
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| + | [[분류:q-급수]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * [ | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q5527834 Q5527834] |
| − | * [ | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}] |
| − | * | + | * [{'LOWER': 'q'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'theorem'}] |
2021년 2월 17일 (수) 03:51 기준 최신판
개요
- 이항계수의 q-analogue
- 가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
- q-이항계수의 목록
양자평면
- 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
- 거듭제곱의 전개\[(x+y)=x+y\]\[(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\]\[(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\]\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]
- 여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다
- 양자 바일 대수와 양자평면 항목 참조
q-이항계수
- 정의 \[{n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\] 풀어쓰면 다음과 같다 \[{n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\]
- 예 \[{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\]\[{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]
- \(n\)이 작은 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조
점화식
- 이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue\[{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\]
- 예 q-이항계수의 목록 항목 참조\[{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\]\[1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]
역사
메모
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=q-binomial+coefficient
- http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Igor Pak, Greta Panova, Bounds on Kronecker and \(q\)-binomial coefficients, arXiv:1410.7087 [math.CO], October 26 2014, http://arxiv.org/abs/1410.7087
- Dhand, Vivek. 2014. “A Combinatorial Proof of Strict Unimodality for \(q\)-Binomial Coefficients.” arXiv:1402.1199 [math]. http://arxiv.org/abs/1402.1199.
- Pak, Igor, and Greta Panova. 2013. “Strict Unimodality of \(q\)-Binomial Coefficients.” Comptes Rendus Mathématique. Académie Des Sciences. Paris 351 (11-12): 415–418. doi:10.1016/j.crma.2013.06.008.
- Kirillov, Anatol N. 1992. “Unimodality of Generalized Gaussian Coefficients.” Comptes Rendus de l’Académie Des Sciences. Série I. Mathématique 315 (5): 497–501.
- O’Hara, Kathleen M. 1990. “Unimodality of Gaussian Coefficients: A Constructive Proof.” Journal of Combinatorial Theory. Series A 53 (1): 29–52. doi:10.1016/0097-3165(90)90018-R.
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q5527834
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]
- [{'LOWER': 'q'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'theorem'}]