"무리수와 디오판투스 근사"의 두 판 사이의 차이

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==유리수의 성질==
 
==유리수의 성질==
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* $\alpha$가 유리수라고 하자. 적당한 정수 $q_0>0$가 존재하여, 모든 $p,q>0\in \mathbb{Z}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다
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* <math>\alpha</math>가 유리수라고 하자. 적당한 정수 <math>q_0>0</math>가 존재하여, 모든 <math>p,q>0\in \mathbb{Z}</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다
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$$
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:<math>
 
|\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0}
 
|\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0}
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==디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)==
 
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* [[디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)]]에서 가져옴<br> 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 :<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}</math>
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* [[디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)]]에서 가져옴 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 :<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}</math>
 
는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.
 
는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.
  
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*  더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)<br> 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식:<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math><br> 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)<br>
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*  더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식:<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math> 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
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* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 항목 참조<br>
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* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 항목 참조
  
  
 
==무리수 판정==
 
==무리수 판정==
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* 모든 n에 대하여, $\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha$, $q_n>0$이고,  
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* 모든 n에 대하여, <math>\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha</math>, <math>q_n>0</math>이고,  
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$$\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty$$
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:<math>\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty</math>
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인 유리수열 $\{\frac{p_n}{q_n}\}$이, 적당한 $\delta>0$에 대하여 부등식 :<math>|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots</math>을 만족하면, $\alpha$는 무리수이다
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인 유리수열 <math>\{\frac{p_n}{q_n}\}</math>이, 적당한 <math>\delta>0</math>에 대하여 부등식 :<math>|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots</math>을 만족하면, <math>\alpha</math>는 무리수이다
 
===증명===
 
===증명===
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$\alpha$가 유리수이면, $\liminf_{n\to infty} |q_n\alpha-p_n|>0$ 이 성립한다. 한편  
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<math>\alpha</math>가 유리수이면,  
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$$|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}$$
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:<math>\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0</math> 이 성립한다. 한편  
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이고, $n\to \infty$ 일 때, $\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0$이므로 모순.
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:<math>|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}</math>
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이고, <math>n\to \infty</math> 일 때, <math>\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0</math>이므로 모순.
  
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==리우빌 정리==
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==리우빌 수==
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;정리 (리우빌,1844)
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무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}</math> 의 유리수해 <math>p/q</math>의 개수는 유한하다
  
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* 리우빌 정리 (1844) <br>
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* [[리우빌 수]]
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무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}</math><br> 의 유리수해 <math>p/q</math>의 개수는 유한하다
 
  
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*  리우빌 정리의 또다른 버전<br> 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 상수 <math>c(\alpha)>0</math>가 존재하여, 모든 유리수 <math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다. :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}</math><br>
 
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===리우빌 상수===
 
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*  이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다
 
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:<math>c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math>
 
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* 다음과 같은 정수열을 정의하자
 
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$$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}; \quad q_n = 10^{n!}$$
 
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* 다음의 부등식이 성립한다
 
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$$\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}$$
 
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==Thue-Siegel-Roth 정리==
 
==Thue-Siegel-Roth 정리==
 
* 주어진 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 :<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>
 
* 주어진 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 :<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>
 
을 만족시키는 유리수 <math>p/q</math> 의 개수는 유한하다
 
을 만족시키는 유리수 <math>p/q</math> 의 개수는 유한하다
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==역사==
 
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*  1844 리우빌<br>
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*  1909 Thue<br>
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*  1921 지겔<br>
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*  1955 Roth (1958년 필즈메달)<br>
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* [[수학사 연표]]
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[황금비]]<br>
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* [[황금비]]
  
 
   
 
   
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://people.math.jussieu.fr/%7Emiw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf Diophantine Approximation: historical survey]
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** From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
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** [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence]
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Morales-Almazan, Pedro. “A Geometrical Approach to Measure Irrationality.” arXiv:1511.09037 [math], November 29, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.09037.
 +
* Zudilin, Wadim. “A Determinantal Approach to Irrationality.” arXiv:1507.05697 [math], July 20, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05697.
 +
* Maculan, Marco. “Geometric Invariant Theory and Roth’s Theorem.” arXiv:1305.0926 [math], May 4, 2013. http://arxiv.org/abs/1305.0926.
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[[분류:무리수와 초월수]]
  
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* [http://people.math.jussieu.fr/%7Emiw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf Diophantine Approximation: historical survey]<br>
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==메타데이터==
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** From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
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===위키데이터===
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** [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence]
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1227061 Q1227061]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:43 기준 최신판

개요

  • 슬로건
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다


유리수의 성질

  • \(\alpha\)가 유리수라고 하자. 적당한 정수 \(q_0>0\)가 존재하여, 모든 \(p,q>0\in \mathbb{Z}\)에 대하여, 다음 부등식이 성립한다

\[ |\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} \]


디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\] 는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조


무리수 판정

  • 모든 n에 대하여, \(\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha\), \(q_n>0\)이고,

\[\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty\] 인 유리수열 \(\{\frac{p_n}{q_n}\}\)이, 적당한 \(\delta>0\)에 대하여 부등식 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\]을 만족하면, \(\alpha\)는 무리수이다

증명

\(\alpha\)가 유리수이면, \[\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0\] 이 성립한다. 한편 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}\] 이고, \(n\to \infty\) 일 때, \(\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0\)이므로 모순.

리우빌 수

정리 (리우빌,1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다


Thue-Siegel-Roth 정리

  • 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]

을 만족시키는 유리수 \(p/q\) 의 개수는 유한하다

역사

  • 1844 리우빌
  • 1909 Thue
  • 1921 지겔
  • 1955 Roth (1958년 필즈메달)
  • 수학사 연표



메모

관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}]
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