리만 제타 함수

개요

• 복소수 \(\Re(s)>1\)에 대하여 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\]

• 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
• 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
• 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
• 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
• 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조

해석적확장 (analytic continuation)

• 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.\[\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\]

• 감마함수\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\] 를 이용하면, \[\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\]
• 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]

• 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.

\[\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]

여기서는 자코비 세타함수의 성질 \[\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\] 이 사용됨.

리만제타함수의 함수방정식

• 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.\[\xi(s) = \xi(1 - s)\] 즉,\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]

증명

자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면, \[\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\]

이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면, \[\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]

를 얻는다.

이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다. ■

복소함수로서의 리만제타함수

• meromorphic function
• 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]
• 더 정확히는\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\]

여기서 \(\gamma_n\)은 스틸체스 상수

리만가설

• 리만가설

special values

• ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
• ζ(4)와 중심이항계수

메모

• Paris, R. B. “An Asymptotic Expansion for the Stieltjes Constants.” arXiv:1508.03948 [math], August 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03948.

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 복소함수론
  • 해석적연속
• 해석적정수론

관련된 항목들

• 자코비 세타함수
• 디리클레 수

수학용어번역

• analytic continuation 해석적 접속
  • 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
• continuation 연속
• continuation method 연속법
• direct analytic continuation 직접해석접속

관련도서

• Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function

리뷰, 에세이, 강의노트

• Jerry Shurman, Meromorphic continuation and functional equation of Riemann zeta
• Sarnak Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis, 2004

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
• http://ko.wikipedia.org/wiki/리만제타함수

관련링크와 웹페이지

• http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/

블로그

• Riemann's zeta function
  • Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
  • 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
• 피타고라스의 창
  • 리만의 제타함수 (1)
  • 리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
  • 리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
  • 리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
  • 리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
  • 리만의 제타함수 (6) : 자연상수
  • 리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식
  • 리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)
  • 리만의 제타함수 (9) : 소수는 무한히 많다(ii)
  • 리만의 제타함수 (10) : 두 자연수가 서로소일 확률

메타데이터

위키데이터

• ID : Q187235

Spacy 패턴 목록

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