"수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:48 기준 최신판

개요

슈뢰딩거 방정식을 이용하여 보어의 수소 원자의 스펙트럼을 수학적으로 설명한다
스핀의 존재와 상대론적 효과는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다
수소 원자와 디랙 방정식

전자의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식

양성자와 전자로 구성된 시스템
- 전자의 질량 \(m_e\), 양성자의 질량 \(m_p\), 전하 \(e\)
3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
해밀토니안

\[ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z) \] 여기서 \(\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\)는 라플라시안(Laplacian) 연산자, \(m=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e\) 는 환산질량 (reduced mass)

전자의 파동함수 \(\psi_{E}(x,y,z)\)가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 \(\hat{H}\)의 고유값 \(E\) 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[ \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} \] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]

구면좌표계와 변수분리

라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다

\[\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} \]

\ref{ei}를 만족하는 파동함수 \(\psi_{E}\)가 변수분리된 형태, 즉 \(\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다

\[ \left\{ \begin{array}{c} \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi), \\ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \end{array} \right. \]

각 방정식

구면조화함수(spherical harmonics) \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)는 연산자 \(\Delta_{S^2}\)의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\)이다. 즉, 다음을 만족한다

\[\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\] 이 때, \(l=0,1,2,\cdots \)

지름 방정식

파동함수가 \(\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다

\[\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)\]

이를 다시 풀어쓰면, \(f\)는 다음을 만족한다

\[ f''(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req} \]

지름 방정식의 해

미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다

\[ r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0 \] 여기서 \(a=\frac{2m}{\hbar^2}E\), \(b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2\)

양자 수와 교환자 관계식

교환자 관계식

\[ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 \] 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

양자수
- \(n\) : principal quantum number, \(n=1,2\cdots, \)
- \(\ell\) : azimuthal quantum number, \(0\le \ell \le n-1\)
- \(m\) : magnetic quantum number, \(-\ell \le m \le \ell\)
\(\hat{H}\)의 고유벡터를 \(|n,\ell,m\rangle\)로 표현할 수 있다

\[\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle \] \[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results

메타데이터

위키데이터

ID : Q6643508

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
+* 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 보어의 [[수소 원자의 스펙트럼]]을 수학적으로 설명한다
+* 스핀의 존재와 상대론적 효과는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다
+* [[수소 원자와 디랙 방정식]]
+==전자의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식==
 * 양성자와 전자로 구성된 시스템
+** 전자의 질량 <math>m_e</math>, 양성자의 질량 <math>m_p</math>, 전하 <math>e</math>
 * 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 :<math>V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 여기서 <math>k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}</math>
 * 해밀토니안
-$$
+:<math>
-\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta + V(x,y,z) =-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
+\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z)
-$$
+</math>
-여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자
+여기서 <math>\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})</math>는 [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자, <math>m=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e</math> 는 환산질량 (reduced mass)
-* 교환자 관계식
+* 전자의 파동함수 <math>\psi_{E}(x,y,z)</math>가 만족시키는 방정식, 즉 [[슈뢰딩거 방정식]] 을 쓰면, 해밀토니안 <math>\hat{H}</math>의 고유값 <math>E</math> 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei}
-[\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0
+</math>
-$$
+또는
-여기서
+:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math>
-:<math>L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)</math>
-:<math>L_{z}=-i \hbar  \frac{\partial}{\partial \phi }</math>
-* 전자의 파동함수 $\psi_{E}$가 만족시키는 방정식, 즉 [[슈뢰딩거 방정식]] 을 쓰면, 해밀토니안의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다
-:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) + V(x,y,z)\psi_{E}</math>
-또는
-:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math><br>
-* 보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
-* 스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다
 ==구면좌표계와 변수분리==
-* 라플라시안은 다음과 같이 쓸 수 있다
+* 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다
-:<math>\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math>  여기서:<math>\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}</math>:<math>\Delta_{S^2}= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)</math><br>
+:<math>\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math>  여기서
-* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 사용하자<br>
+:<math>
-*  파동함수의 변수분리 <math>\psi_{E}=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 라 쓰면,:<math>\frac{\hbar^2}{2m_e}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r})R(r)=ER(r)</math><br>
+\begin{aligned}
+\Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\
+\Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)
+\end{aligned}
+</math>
+* \ref{ei}를 만족하는 파동함수 <math>\psi_{E}</math>가 변수분리된 형태, 즉 <math>\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다
+:<math>
+\left\{ \begin{array}{c}
+\Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi), \\
+\left(-\frac{\hbar^2}{2m}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \end{array} \right.
+</math>
+===각 방정식===
+* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] <math>Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>는 연산자 <math>\Delta_{S^2}</math>의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math>이다. 즉, 다음을 만족한다
+:<math>\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>
+이 때, <math>l=0,1,2,\cdots </math>
+===지름 방정식===
+* 파동함수가 <math>\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다
+:<math>\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)</math>
+* 이를 다시 풀어쓰면, <math>f</math>는 다음을 만족한다
+:<math>
+f''(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req}
+</math>
-==역사==
-* 1904년 톰슨 모형
-* 1913 스타크의 관찰
-** http://en.wikipedia.org/wiki/Stark_effect
-* 1913 보어 수소 원자 모형
-* [[수학사 연표]]
+==지름 방정식의 해==
+* 미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다
+:<math>
+r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0
+</math>
+여기서 <math>a=\frac{2m}{\hbar^2}E</math>, <math>b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2</math>
+==양자 수와 교환자 관계식==
+* 교환자 관계식
-==메모==
+:<math>
-* http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/
+[\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0
+</math>
+여기서
+:<math>L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)</math>
+:<math>L_{z}=-i \hbar  \frac{\partial}{\partial \phi }</math>
+* 양자수
+** <math>n</math> :  principal quantum number, <math>n=1,2\cdots, </math>
+** <math>\ell</math> :  azimuthal quantum number, <math>0\le \ell \le n-1</math>
+** <math>m</math> : magnetic quantum number, <math>-\ell \le m \le \ell</math>
+* <math>\hat{H}</math>의 고유벡터를 <math>|n,\ell,m\rangle</math>로 표현할 수 있다
+:<math>\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle </math>
+:<math> L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle </math>
+:<math> L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle </math>
 ==관련된 항목들==
+* [[3차원 공간의 회전과 SO(3)]]
+* [[각운동량의 양자 이론]]
 * [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
-* [[르장드르 다항식]]
+* [[스핀과 파울리의 배타원리]]
-* [[르장드르 다항식(associated Legendre polynomials)]]
+* [[수소 원자와 디랙 방정식]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYTdKS3dORTA5Yjg/edit
+* http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-* http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/hyd.html#SECTION07331000000000000000
-* http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html#c3
-* http://www.chem.ufl.edu/%7Ebowers/classes/6470-F10/lectures/HydrogenWavefunctions.html
 [[분류:양자역학]]
 [[분류:수리물리학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6643508 Q6643508]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}]