"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 루트 2, | + | * 루트 2, <math>\sqrt{2}</math>, 피타고라스 상수라 불리기도 함 |
* 무리수의 대표적인 예 | * 무리수의 대표적인 예 | ||
| − | * 방정식 | + | * 방정식 <math>x^2=2</math>를 만족시키며, 대수적 수 |
==연분수 전개== | ==연분수 전개== | ||
| − | * 루트 2의 연분수 | + | * 루트 2의 연분수 전개는 <math>[1;2,2,2,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다 |
| + | :<math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math> | ||
* convergents는 다음과 같이 주어진다 :<math>1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots </math> | * convergents는 다음과 같이 주어진다 :<math>1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots </math> | ||
==정수 수열== | ==정수 수열== | ||
| − | * 정수로 이루어진 수열 <math>\{ | + | * 정수로 이루어진 수열 <math>\{p_n\},\{q_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots</math> |
* 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다 | * 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다 | ||
| − | ** <math> | + | ** <math>p_{n+1}=p_n+2 q_n</math>, <math>p_0=1</math> |
| − | ** <math> | + | ** <math>q_{n+1}=p_n+q_n</math>, <math>q_0=0</math> |
* 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다 | * 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다 | ||
| − | ** <math> | + | ** <math>p_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119 |
| − | ** <math> | + | ** <math>q_n</math> 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378 |
* 다음의 성질을 만족한다 | * 다음의 성질을 만족한다 | ||
| − | ** <math> | + | ** <math>p_n/q_n</math>는 루트 2로 수렴한다 |
| − | ** <math> | + | ** <math>p_n/q_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다 |
| − | ** <math> | + | ** <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}</math> |
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| − | ** <math>\{ | + | ** <math>\{p_n\},\{q_n\}</math> 는 [[루카스 수열]]로 다음을 만족한다 |
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| − | *** <math> | + | *** <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1</math> |
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* [[정다각형의 대각선의 길이]] | * [[정다각형의 대각선의 길이]] | ||
* [[루카스 수열]] | * [[루카스 수열]] | ||
| + | * [[선형점화식]] | ||
* [[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] | * [[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] | ||
[[분류:상수]] | [[분류:상수]] | ||
| + | [[분류:연분수]] | ||
2020년 11월 12일 (목) 07:09 기준 최신판
개요
- 루트 2, \(\sqrt{2}\), 피타고라스 상수라 불리기도 함
- 무리수의 대표적인 예
- 방정식 \(x^2=2\)를 만족시키며, 대수적 수
연분수 전개
- 루트 2의 연분수 전개는 \([1;2,2,2,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다
\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
- convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]
정수 수열
- 정수로 이루어진 수열 \(\{p_n\},\{q_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots\]
- 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- \(p_{n+1}=p_n+2 q_n\), \(p_0=1\)
- \(q_{n+1}=p_n+q_n\), \(q_0=0\)
- 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- \(p_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- \(q_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
- 다음의 성질을 만족한다
- \(p_n/q_n\)는 루트 2로 수렴한다
- \(p_n/q_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}\)
- \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} \)
- \(\{p_n\},\{q_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
- \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1\)
- \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1\)
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