"이차형식 x^2+xy+y^2"의 두 판 사이의 차이
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| − | == | + | ==<math>x^2+x y+y^2</math>꼴로 표현되는 정수== |
| − | === | + | ===<math>x^2+x y+y^2</math>꼴로 표현되는 400까지의 정수=== |
* 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192, 193, 196, 199, 201, 208, 211, 217, 219, 223, 225, 228, 229, 237, 241, 243, 244, 247, 252, 256, 259, 268, 271, 273, 277, 279, 283, 289, 291, 292, 300, 301, 304, 307, 309, 313, 316, 324, 325, 327, 331, 333, 336, 337, 343, 349, 351, 361, 363, 364, 367, 372, 373, 379, 381, 387, 388, 397, 399, 400 | * 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192, 193, 196, 199, 201, 208, 211, 217, 219, 223, 225, 228, 229, 237, 241, 243, 244, 247, 252, 256, 259, 268, 271, 273, 277, 279, 283, 289, 291, 292, 300, 301, 304, 307, 309, 313, 316, 324, 325, 327, 331, 333, 336, 337, 343, 349, 351, 361, 363, 364, 367, 372, 373, 379, 381, 387, 388, 397, 399, 400 | ||
| − | === | + | ===<math>x^2+x y+y^2</math>꼴로 표현되는 400까지의 소수=== |
* 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397 | * 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397 | ||
| − | ==자연수를 | + | ==자연수를 <math>x^2+x y+y^2</math>꼴로 표현하는 방법의 수== |
| − | * 자연수 | + | * 자연수 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 디오판투스 방정식 <math>x^2+x y+y^2=n</math>의 해의 개수를 <math>a(n)</math>라 하자 |
| − | * | + | * <math>\{a(n)\}_{n\geq 0}</math>은 다음과 같은 수열이다 |
| − | + | :<math> | |
1,6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, \ | 1,6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, \ | ||
0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, \ | 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, \ | ||
0, 0, 0, 0, 6, 18, 0,\cdots | 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0,\cdots | ||
| − | + | </math> | |
;정리 | ;정리 | ||
:<math>a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)</math> | :<math>a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)</math> | ||
| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)</math> |
;증명 | ;증명 | ||
[[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]에서의 증명과 같다. | [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]에서의 증명과 같다. | ||
| − | 이차형식 | + | 이차형식 <math>Q(x,y)=x^2+x y+y^2</math>에 대한 [[엡슈타인 제타함수]] <math>\zeta_Q(s)</math>는 다음을 만족한다 |
| − | + | :<math> | |
\zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+x y+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} | \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+x y+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} | ||
| − | + | </math> | |
| − | 수체 | + | 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 [[데데킨트 제타함수]] <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음을 만족한다 |
| − | + | :<math> | |
\zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/6 | \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/6 | ||
| − | + | </math> | |
| − | 한편 | + | 한편 <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조) |
| − | + | :<math> | |
\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-3}(s) \label{dec} | \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-3}(s) \label{dec} | ||
| − | + | </math> | |
| − | 여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], | + | 여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], <math>L_{-3}(s)</math>는 아래의 [[디리클레 L-함수]] |
| − | :<math>L_{- | + | :<math>L_{-3}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}</math> |
\ref{dec}로부터 다음을 얻는다 | \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 | ||
| − | + | :<math> | |
\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} | \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} | ||
| − | + | </math> | |
| − | 따라서 | + | 따라서 <math>a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)</math>. ■ |
;따름정리 | ;따름정리 | ||
소수 <math>p\neq 3</math>에 대하여, 다음이 성립한다 | 소수 <math>p\neq 3</math>에 대하여, 다음이 성립한다 | ||
| − | + | :<math> | |
a(p)= | a(p)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
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0,\quad \mbox{ if } p\equiv 2 \pmod{3} | 0,\quad \mbox{ if } p\equiv 2 \pmod{3} | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
| − | + | </math> | |
===세타함수=== | ===세타함수=== | ||
* [[격자의 세타함수]] | * [[격자의 세타함수]] | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
\theta_Q(\tau)=&\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}q^{x^2+x y+y^2}\\ | \theta_Q(\tau)=&\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}q^{x^2+x y+y^2}\\ | ||
| − | =& \sum_{n= | + | =& \sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n \\ |
=& 1+6 q+6 q^3+6 q^4+12 q^7+6 q^9+6 q^{12}+12 q^{13}+6 q^{16}+12 q^{19}+12 q^{21}+6 q^{25}+6 q^{27}+12 q^{28}+12 q^{31}+6 q^{36}+12 q^{37}+12 q^{39}+12 q^{43}+6 q^{48}+18 q^{49}+O(q^{51}) | =& 1+6 q+6 q^3+6 q^4+12 q^7+6 q^9+6 q^{12}+12 q^{13}+6 q^{16}+12 q^{19}+12 q^{21}+6 q^{25}+6 q^{27}+12 q^{28}+12 q^{31}+6 q^{36}+12 q^{37}+12 q^{39}+12 q^{43}+6 q^{48}+18 q^{49}+O(q^{51}) | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
| − | + | </math> | |
* [[포아송의 덧셈 공식]]을 적용하여 다음을 얻는다 | * [[포아송의 덧셈 공식]]을 적용하여 다음을 얻는다 | ||
| − | + | :<math> | |
\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\pi t (x^2+x y+y^2)}=\frac{2}{t\sqrt{3}}\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\frac{4\pi}{3t}(x^2+x y+y^2)} | \sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\pi t (x^2+x y+y^2)}=\frac{2}{t\sqrt{3}}\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\frac{4\pi}{3t}(x^2+x y+y^2)} | ||
| − | + | </math> | |
| − | * 함수 | + | * 함수 <math>f(x_1,x_2) = e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)}</math>의 [[푸리에 변환]]은 다음과 같다 |
| − | + | :<math> | |
\hat{f}(\xi_1,\xi_2)=\frac{2}{\sqrt{3} t}e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}} | \hat{f}(\xi_1,\xi_2)=\frac{2}{\sqrt{3} t}e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}} | ||
| − | + | </math> | |
==이차형식의 합성== | ==이차형식의 합성== | ||
* [[이차형식의 합성]] | * [[이차형식의 합성]] | ||
| − | + | :<math> | |
(u^2+u v+v^2)(x^2+x y+y^2)=(u x+v y)^2+(u x+v y) (v x+u y+v y)+(v x+u y+v y)^2 | (u^2+u v+v^2)(x^2+x y+y^2)=(u x+v y)^2+(u x+v y) (v x+u y+v y)+(v x+u y+v y)^2 | ||
| − | + | </math> | |
2020년 11월 12일 (목) 06:58 기준 최신판
개요
- 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+x y+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
- 소수 \(p\)에 대하여, \(p=3\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 3\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+x y+y^2\) 형태로 표현가능
\(x^2+x y+y^2\)꼴로 표현되는 정수
\(x^2+x y+y^2\)꼴로 표현되는 400까지의 정수
- 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192, 193, 196, 199, 201, 208, 211, 217, 219, 223, 225, 228, 229, 237, 241, 243, 244, 247, 252, 256, 259, 268, 271, 273, 277, 279, 283, 289, 291, 292, 300, 301, 304, 307, 309, 313, 316, 324, 325, 327, 331, 333, 336, 337, 343, 349, 351, 361, 363, 364, 367, 372, 373, 379, 381, 387, 388, 397, 399, 400
\(x^2+x y+y^2\)꼴로 표현되는 400까지의 소수
- 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397
자연수를 \(x^2+x y+y^2\)꼴로 표현하는 방법의 수
- 자연수 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+x y+y^2=n\)의 해의 개수를 \(a(n)\)라 하자
- \(\{a(n)\}_{n\geq 0}\)은 다음과 같은 수열이다
\[ 1,6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, \ 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, \ 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0,\cdots \]
- 정리
\[a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 \(\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\)
- 증명
페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리에서의 증명과 같다.
이차형식 \(Q(x,y)=x^2+x y+y^2\)에 대한 엡슈타인 제타함수 \(\zeta_Q(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+x y+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} \] 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/6 \] 한편 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) \[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-3}(s) \label{dec} \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, \(L_{-3}(s)\)는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-3}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 \[ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} \] 따라서 \(a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)\). ■
- 따름정리
소수 \(p\neq 3\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ a(p)= \begin{cases} 12,\quad \mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{3} \\ 0,\quad \mbox{ if } p\equiv 2 \pmod{3} \end{cases} \]
세타함수
\[ \begin{aligned} \theta_Q(\tau)=&\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}q^{x^2+x y+y^2}\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n \\ =& 1+6 q+6 q^3+6 q^4+12 q^7+6 q^9+6 q^{12}+12 q^{13}+6 q^{16}+12 q^{19}+12 q^{21}+6 q^{25}+6 q^{27}+12 q^{28}+12 q^{31}+6 q^{36}+12 q^{37}+12 q^{39}+12 q^{43}+6 q^{48}+18 q^{49}+O(q^{51}) \end{aligned} \]
- 포아송의 덧셈 공식을 적용하여 다음을 얻는다
\[ \sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\pi t (x^2+x y+y^2)}=\frac{2}{t\sqrt{3}}\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\frac{4\pi}{3t}(x^2+x y+y^2)} \]
- 함수 \(f(x_1,x_2) = e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)}\)의 푸리에 변환은 다음과 같다
\[ \hat{f}(\xi_1,\xi_2)=\frac{2}{\sqrt{3} t}e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}} \]
이차형식의 합성
\[ (u^2+u v+v^2)(x^2+x y+y^2)=(u x+v y)^2+(u x+v y) (v x+u y+v y)+(v x+u y+v y)^2 \]
메모
- Koblitz, Neal. 1993. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms Second Edition. Springer.
- Section II.5
- Diamond, Fred. 2005. A First Course in Modular Forms. Springer.
- Sections 4.11, 5.9
관련된 항목들