"리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 복소수 체 위에 정의된 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math>의 유한차원 표현론 | |
| − | + | * 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다 | |
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| + | * 3차원 리대수의 기저 | ||
| + | :<math>E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> | ||
* <math>L=\langle E,F,H \rangle</math> | * <math>L=\langle E,F,H \rangle</math> | ||
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| + | :<math>[E,F]=H</math>:<math>[H,E]=2E</math>:<math>[H,F]=-2F</math> | ||
| + | * 카르탄 행렬 <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}</math> | ||
| + | * 루트 시스템 <math>\Phi=\{\alpha,-\alpha\}</math> | ||
* universal enveloping algebra의 PBW 기저 <math>\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}</math> | * universal enveloping algebra의 PBW 기저 <math>\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}</math> | ||
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| − | + | ==highest weight representation== | |
| − | + | * <math>V</math> :유한차원인 기약표현 | |
| − | + | * <math>V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{C}}V_{\lambda}</math>, <math>V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}</math> | |
| − | + | * <math>\lambda\in \mathbb{C}</math> 에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 highest weight vector <math>v_0</math> 를 정의 | |
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| − | + | :<math>Hv_0=\lambda v_0</math> | |
| − | * | + | * <math>v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0</math> 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다 |
| − | + | :<math>H v_j=(\lambda -2j)v_j</math> | |
| − | + | :<math>F v_j=(j+1)v_{j+1}</math> | |
| + | :<math>E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}</math> | ||
| + | * <math>\{v_j|j\geq 0\}</math> 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 <math>\mathfrak{g}</math>-모듈이 되려면, <math>\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0</math> 이 만족되어야 한다 | ||
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| + | * 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다 | ||
| + | * 모든 유한차원 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>이 존재하여 <math>V\simeq V(m)</math>이 성립 | ||
| + | * <math>V(m)</math>으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 [[클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)]] 항목 참조 | ||
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| − | + | * weight과 바일 벡터 | |
| + | :<math>\omega=\frac{1}{2}\alpha, \rho=\omega</math> | ||
| + | * 지표는 다음과 같다 | ||
| + | :<math>\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}</math> | ||
| + | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] | ||
| + | * 고유치가 <math>e^{i\theta}, e^{-i\theta}</math>인 <math>SU(2)</math>의 원소에서 지표의 값은 제2종 [[체비셰프 다항식]]으로 표현할 수 있다 | ||
| + | :<math>\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)</math> | ||
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| + | * [[q-이항정리]] (하이네 공식, [[Q-series 의 공식 모음]]) | ||
| + | :<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math> | ||
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| + | <math>\mathfrak{sl}_2</math>의 <math>(k+1)</math>-차원 기약표현 <math>V(k)</math>에 대하여, 표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표는 다음과 같다 | ||
| + | :<math>\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math> | ||
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| + | 여기서 <math>[n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}</math> | ||
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| + | <math>k</math>를 고정하자. | ||
| + | 표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표를 <math>F_j(q)</math>라 하자 | ||
| + | :<math>F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}</math> | ||
| + | 이 때, 합은 <math>m_0+m_1+\cdots+m_k=j</math>를 만족하는 <math>(m_0,\cdots, m_k)</math>에 대한 것이다. | ||
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| + | :<math>F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j</math> | ||
| + | 다음이 성립한다 | ||
| + | :<math>F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}</math> | ||
| + | 이를 증명하기 위해, 다음을 생각하자 | ||
| + | :<math>(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}z^mq^{m(k-2j)}</math> | ||
| + | 따라서 | ||
| + | :<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m_0,\cdots,m_k}z^{m_0+\cdots+m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}</math> | ||
| + | 다음을 확인할 수 있다 | ||
| + | :<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>■ | ||
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| + | * [[q-이항정리]] (가우스 공식, [[Q-series 의 공식 모음]]) | ||
| + | :<math>\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j</math> | ||
| + | ;정리 | ||
| + | 표현 <math>\Lambda^{j}V(k)</math>의 지표는 다음과 같다 | ||
| + | :<math>\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}</math> | ||
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| − | + | 위의 증명과 유사하다. ■ | |
| − | + | ==파울리 행렬== | |
| − | + | * [[파울리 행렬]]의 선형결합으로 리대수 <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math> 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 <math>E,F</math>는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 :<math>H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> :<math>E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}</math> | |
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| + | * [[수학사 연표]] | ||
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| − | + | * <math>\mathbb{F}</math> : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다 | |
| − | < | + | * http://arxiv.org/abs/1504.07814 |
| + | ==관련된 항목들== | ||
| + | * [[클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)]] | ||
| + | * [[체비셰프 다항식]] | ||
| + | * [[리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론]] | ||
* [[스핀과 파울리의 배타원리]] | * [[스핀과 파울리의 배타원리]] | ||
* [[파울리 행렬]] | * [[파울리 행렬]] | ||
| + | * [[좌표 베테 가설 풀이(coordinate Bethe ansatz)]] | ||
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| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTllDZlBkcXRyUkk/edit | |
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_reciprocity | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
| − | + | * '''[GW1998]'''Goodman and Wallach,Representations and invariants of the classical groups | |
| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Bacry, Henri. 1987. “SL(2,C), SU(2), and Chebyshev Polynomials.” Journal of Mathematical Physics 28 (10) (October 1): 2259–2267. doi:10.1063/1.527759. | ||
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| + | [[분류:리군과 리대수]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q5741914 Q5741914] |
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 03:53 기준 최신판
개요
- 복소수 체 위에 정의된 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)의 유한차원 표현론
- 각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, \(m+1\) 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다
리대수 \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)
- 3차원 리대수의 기저
\[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
- \(L=\langle E,F,H \rangle\)
- 교환자
\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]
- 카르탄 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}\)
- 루트 시스템 \(\Phi=\{\alpha,-\alpha\}\)
- universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)
highest weight representation
- \(V\) :유한차원인 기약표현
- \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{C}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
- \(\lambda\in \mathbb{C}\) 에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 highest weight vector \(v_0\) 를 정의
\[Ev_0=0\] \[Hv_0=\lambda v_0\]
- \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\] \[F v_j=(j+1)v_{j+1}\] \[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]
- \(\{v_j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 \(\mathfrak{g}\)-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다
유한차원 기약표현의 분류
- 각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, \(m+1\) 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
- 모든 유한차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)이 존재하여 \(V\simeq V(m)\)이 성립
- \(V(m)\)으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule) 항목 참조
지표 (character)
- weight과 바일 벡터
\[\omega=\frac{1}{2}\alpha, \rho=\omega\]
- 지표는 다음과 같다
\[\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}\]
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula)
- 고유치가 \(e^{i\theta}, e^{-i\theta}\)인 \(SU(2)\)의 원소에서 지표의 값은 제2종 체비셰프 다항식으로 표현할 수 있다
\[\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)\]
\(\operatorname{Sym}^j V(k)\)와 \(\Lambda^{j}V(k)\)의 지표
- [GW1998]
\(\operatorname{Sym}^j V(k)\)
- q-이항정리 (하이네 공식, Q-series 의 공식 모음)
\[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]
- 정리
\(\mathfrak{sl}_2\)의 \((k+1)\)-차원 기약표현 \(V(k)\)에 대하여, 표현 \(\operatorname{Sym}^j V(k)\)의 지표는 다음과 같다 \[\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\] 생성함수는 다음과 같다 \[ \sum_{j=0}^{\infty}\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1} \] 여기서 \([n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}\)
- 증명
\(k\)를 고정하자. 표현 \(\operatorname{Sym}^j V(k)\)의 지표를 \(F_j(q)\)라 하자 \[F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 이 때, 합은 \(m_0+m_1+\cdots+m_k=j\)를 만족하는 \((m_0,\cdots, m_k)\)에 대한 것이다.
다음 생성함수를 생각하자 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j\] 다음이 성립한다 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}\] 이를 증명하기 위해, 다음을 생각하자 \[(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}z^mq^{m(k-2j)}\] 따라서 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m_0,\cdots,m_k}z^{m_0+\cdots+m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 다음을 확인할 수 있다 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]■
\(\Lambda^{j}V(k)\)
- q-이항정리 (가우스 공식, Q-series 의 공식 모음)
\[\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j\]
- 정리
표현 \(\Lambda^{j}V(k)\)의 지표는 다음과 같다 \[\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}\]
- 증명
위의 증명과 유사하다. ■
파울리 행렬
- 파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 \(E,F\)는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 \[H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\] \[E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]
역사
메모
- \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다
- http://arxiv.org/abs/1504.07814
관련된 항목들
- 클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)
- 체비셰프 다항식
- 리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론
- 스핀과 파울리의 배타원리
- 파울리 행렬
- 좌표 베테 가설 풀이(coordinate Bethe ansatz)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련도서
- [GW1998]Goodman and Wallach,Representations and invariants of the classical groups
관련논문
- Bacry, Henri. 1987. “SL(2,C), SU(2), and Chebyshev Polynomials.” Journal of Mathematical Physics 28 (10) (October 1): 2259–2267. doi:10.1063/1.527759.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q5741914
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}]