"페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리"의 두 판 사이의 차이

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* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
 
* 두 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
 
* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 이면 모두 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
 
* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 이면 모두 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대하여 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
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* 소수 <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 의 곱으로 표현되는 자연수는 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
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* 소수 <math>p=2</math> 또는 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 의 곱으로 표현되는 자연수는 <math>x^2+y^2</math> 형태로 표현가능
  
  
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==자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수==
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==자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수==
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* 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 디오판투스 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 해의 개수를 <math>r_2(n)</math>라 하자
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* 자연수 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 디오판투스 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 해의 개수를 <math>r_2(n)</math>라 하자
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* $\{r_2(n)\}_{n\geq 0}$은 다음과 같은 수열이다
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* <math>\{r_2(n)\}_{n\geq 0}</math>은 다음과 같은 수열이다
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$$
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:<math>
 
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \
 
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \
 
0, 0, 12,\cdots
 
0, 0, 12,\cdots
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$$
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</math>
 
;정리
 
;정리
 
:<math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>
 
:<math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>
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여기서 <math>n</math>이 홀수이면 <math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</math>,  <math>n</math>이 짝수이면 <math>\chi(n)=0</math>.
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여기서 <math>n</math>이 홀수이면 <math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</math>, <math>n</math>이 짝수이면 <math>\chi(n)=0</math>.
  
 
;증명
 
;증명
−
이차형식 $Q(x,y)=x^2+y^2$에 대한 [[Epstein 제타함수]] $\zeta_Q(s)$는 다음을 만족한다
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이차형식 <math>Q(x,y)=x^2+y^2</math>에 대한 [[Epstein 제타함수]] <math>\zeta_Q(s)</math>는 다음을 만족한다
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$$
+
:<math>
 
\zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}}
 
\zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}}
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$$
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</math>
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수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 [[데데킨트 제타함수]] $\zeta_{K}(s)$는 다음을 만족한다
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수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 [[데데킨트 제타함수]] <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음을 만족한다
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:<math>
 
\zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4
 
\zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4
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</math>
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한편 $\zeta_{K}(s)$는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
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한편 <math>\zeta_{K}(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
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$$
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:<math>
 
\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec}
 
\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec}
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$$
+
</math>
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여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], $L_{-4}(s)$는 아래의 [[디리클레 L-함수]]
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여기서 <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수]], <math>L_{-4}(s)</math>는 아래의 [[디리클레 L-함수]]
 
:<math>L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}</math>
 
:<math>L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}</math>
 
\ref{dec}로부터 다음을 얻는다
 
\ref{dec}로부터 다음을 얻는다
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$$
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:<math>
 
\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}}
 
\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}}
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$$
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</math>
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따라서 $r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)$. ■  
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따라서 <math>r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)</math>. ■  
  
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==400이하의 소수==
 
==400이하의 소수==
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
  
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5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
  
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그런데 사실 이야기가 여기서 끝나는 것이 아니다.
 
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2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379
  
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8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수
 
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12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수
 
12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수
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<math>x^2+4y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
 
<math>x^2+4y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수
  
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5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397
  
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==역사==
 
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==메모==
 
==메모==
 
* http://mathoverflow.net/questions/191334/growth-of-r-2n
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[이차형식 x^2+27y^2]]
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTlhMDE1M2YtYzM4NS00ZDQyLTg2MjEtMzA1YWU5ZjliNjU0&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTlhMDE1M2YtYzM4NS00ZDQyLTg2MjEtMzA1YWU5ZjliNjU0&sort=name&layout=list&num=50
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares]<br>
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* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime <math>p\equiv 1(\mod 4)</math> Is a Sum of Two Squares]
 
** D. Zagier, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
 
** D. Zagier, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
 
[[분류:에세이]]
 
[[분류:에세이]]
 
[[분류:초등정수론]]
 
[[분류:초등정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q914517 Q914517]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'theorem'}, {'LOWER': 'on'}, {'LOWER': 'sums'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'two'}, {'LEMMA': 'square'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'two'}, {'LOWER': 'square'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'fermat'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': '4n+1'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:05 기준 최신판

개요

  • 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
  • 소수 \(p\)에 대하여, \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능
  • 소수 \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 의 곱으로 표현되는 자연수는 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능


두 제곱의 합으로 표현되는 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

  • 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400


두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수

  • 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

  • 자연수 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+y^2=n\)의 해의 개수를 \(r_2(n)\)라 하자
  • \(\{r_2(n)\}_{n\geq 0}\)은 다음과 같은 수열이다

\[ 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \ 0, 0, 12,\cdots \]

정리

\[r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 \(n\)이 홀수이면 \(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\), \(n\)이 짝수이면 \(\chi(n)=0\).

증명

이차형식 \(Q(x,y)=x^2+y^2\)에 대한 Epstein 제타함수 \(\zeta_Q(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}} \] 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4 \] 한편 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) \[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec} \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, \(L_{-4}(s)\)는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 \[ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} \] 따라서 \(r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\). ■


400이하의 소수

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397





4 로 나눈 나머지가 1인 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


\(x^2+2y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379


8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수

3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379

\(x^2+3y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397


12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

\(x^2+4y^2\)로 표현되는 400까지의 소수


5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



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메타데이터

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