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* 전체 복소평면으로 meromorphic 확장 | * 전체 복소평면으로 meromorphic 확장 | ||
==라플라시안의 행렬식== | ==라플라시안의 행렬식== | ||
| − | * | + | * <math>\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}</math> |
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* 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다 | * 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다 | ||
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\zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) | \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) | ||
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| − | * [[실해석적 아이젠슈타인 급수|크로네커 극한 공식]]로부터 | + | * [[실해석적 아이젠슈타인 급수|크로네커 극한 공식]]로부터 <math>\zeta'_{M}(0)=-\log(y^2|\eta(\tau)|^4)</math>를 얻는다. 이 때, <math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]] |
| − | * 따라서 라플라시안의 행렬식은 | + | * 따라서 라플라시안의 행렬식은 <math>\det -\Delta=y^2|\eta(\tau)|^4</math> |
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* Yang, Paul C., and Shing-Tung Yau. ‘Eigenvalues of the Laplacian of Compact Riemann Surfaces and Minimal Submanifolds’. Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa - Classe Di Scienze 7, no. 1 (1980): 55–63. | * Yang, Paul C., and Shing-Tung Yau. ‘Eigenvalues of the Laplacian of Compact Riemann Surfaces and Minimal Submanifolds’. Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa - Classe Di Scienze 7, no. 1 (1980): 55–63. | ||
* Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5. | * Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5. | ||
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| + | * Alexander Strohmaier, Computation of Eigenvalues, Spectral Zeta Functions and Zeta-Determinants on Hyperbolic Surfaces, arXiv:1604.02722 [math.NA], April 10 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02722 | ||
2020년 11월 16일 (월) 04:17 기준 최신판
개요
- 컴팩트 리만 다양체 \(M\) 에 정의된 라플라시안(Laplacian) \(\Delta\)의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
- \(-\Delta\) 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐
\[0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty\]
- \(n_j\)를 \(\lambda_j\)의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의
\[ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} \]
- \(j\to \infty\)일 때, \(\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}\) 이므로, \(\Re s>\frac{1}{2}\dim M\)에서 수렴
- 전체 복소평면으로 meromorphic 확장
라플라시안의 행렬식
- \(\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}\)
예
- \(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)가 \(y>0\)를 만족
- \(M=\mathbb{C}/L_{\tau}\) where \(L_{\tau}=\{a+b\tau|a,b\in \mathbb{Z}\}\) 은 복소 타원 곡선
- 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐 (모든 j에 대하여, \(n_j=1\))
\[ \{\lambda_{mn}:=\frac{4\pi^2}{y^2}|m+n\tau|^2\}_{m,n\in \mathbb{Z}} \]
- 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다
\[ \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) \] 여기서 \(E(\tau,s)\)는 실해석적 아이젠슈타인 급수 \[E(\tau,s)=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\]
- 크로네커 극한 공식로부터 \(\zeta'_{M}(0)=-\log(y^2|\eta(\tau)|^4)\)를 얻는다. 이 때, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
- 따라서 라플라시안의 행렬식은 \(\det -\Delta=y^2|\eta(\tau)|^4\)
관련된 항목들
수학용어번역
- spectral - 대한수학회 수학용어집
관련논문
- Buckley, Jeremiah, and Igor Wigman. “On the Number of Nodal Domains of Toral Eigenfunctions.” arXiv:1511.04382 [math-Ph], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04382.
- Lester, Stephen, and Zeév Rudnick. “Small Scale Equidistribution of Eigenfunctions on the Torus.” arXiv:1508.01074 [math-Ph], August 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01074.
- Karpukhin, Mikhail A. ‘Upper Bounds for the First Eigenvalue of the Laplacian on Non-Orientable Surfaces’. arXiv:1503.08493 [math], 29 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.08493.
- Li, Peter, and Shing-Tung Yau. ‘A New Conformal Invariant and Its Applications to the Willmore Conjecture and the First Eigenvalue of Compact Surfaces’. Inventiones Mathematicae 69, no. 2 (1 June 1982): 269–91. doi:10.1007/BF01399507.
- Yang, Paul C., and Shing-Tung Yau. ‘Eigenvalues of the Laplacian of Compact Riemann Surfaces and Minimal Submanifolds’. Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa - Classe Di Scienze 7, no. 1 (1980): 55–63.
- Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.
리뷰, 에세이, 강의노트
- Alexander Strohmaier, Computation of Eigenvalues, Spectral Zeta Functions and Zeta-Determinants on Hyperbolic Surfaces, arXiv:1604.02722 [math.NA], April 10 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02722