다이로그 함수(dilogarithm)

개요

• 폴리로그 함수(poylogarithm)의 하나인 special 함수이다.
• 오일러, 로바체프스키, 아벨 등에 의하여 연구되었다.
• 정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 현대수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.
• Pochhammer 기호 \((q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\) 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다.
• 모든 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

정의

• 다이로그 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨\[\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
• 다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \] for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)

함수의 그래프

단위원에서의 실수부와 허수부

• \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일 때,\[\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_ 2(\theta)\]
• 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

여러가지 항등식

• 오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_ 2 \left(x \right)+\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\), \(0<x<1\)

• 반전공식\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)\]
• 란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)\) 또는

\(\mbox{Li}_ 2(1-x)+\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)\)

• 여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음\[\mbox{Li}_ 2(x)\],\(\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
• 사영기하학과 교차비, Bloch-Wigner dilogarithm 항목들을 참조

곱셈공식

• 제곱공식\[\mbox{Li}_ 2(x^2)=2(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x))\]\[\frac{1}{2}\mbox{Li}_ 2(x^2)=\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x)\]
• 일반적인 곱셈공식\[\frac{1}{n} \operatorname{Li}_ 2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_ 2\left(e^{2\pi i k/n}z \right)\]
• 실수부와 허수부에 대한 덧셈공식\[f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\]\[Cl_ 2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\] 다음 덧셈공식을 만족시킴\[f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})\]\[Cl_ 2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_ 2(\theta+\frac{2k\pi}{n})\]

• 로바체프스키와 클라우센 함수의 덧셈공식 참조

5항 관계식 (5-term relation)

• 5항 관계식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\]
• 5항 관계식 (5-term relation) 항목 참조

Special values

• 다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

• 구체적인 계산은 다이로그 함수의 special value 계산 항목 참조
• 황금비

다이로그 항등식

• 다이로그 함수를 약간 변형한 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\]
• 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 다이로그 항등식이라 한다\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]
• 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
• 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 항목 참조

Pochhammer 기호와의 관계

• Pochhammer 기호\[(q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\]
• 로그를 취한뒤 적분을 통해 근사하면 다음을 얻는다\[\int_{0}^{n}\log (1-q^{t})\,dt=\frac{1}{\log q}\int_{1}^{q^{n}}\log (1-x)\,\frac{dx}{x}=\frac{1}{\log q}(\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(q^{n}))\]

재미있는 사실

• Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

역사

• 1696 Leibniz
• 1776 Euler
• 1809 W. Spence, an essay on logarithmic transcendents
• 1828 Abel
• 1840 Kummer
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=dilogarithm
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 황금비
• 리만제타함수와 리만가설
• 감마함수
• 르장드르 카이 함수
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• 정수에서의 리만제타함수의 값

수학용어번역

• 제안용어
  • 다이로그, 쌍로그, 이중로그 ??
• http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=di
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=5
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=dilogarithm
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYXZHTWtTSFhHT2M/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
• M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions.
  • http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1004.htm

관련도서

• Frontiers in number theory, physics, and geometry II
  • Cartier P., Julia B., Moussa P., Vanhove P.
• Structural properties of polylogarithms
  • Leonard Lewin
• Polylogarithms and associated functions
  • Leonard Lewin

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Don Zagier The dilogarithm in number theory and geometry
  • 2012년 4월, 동영상 강의
• The History and Future of Special Functions Stephen Wolfram, 2005
• Don Zagier The Dilogarithm Function
• Anatol N. Kirillov Dilogarithm identities,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995

관련논문

• O’Sullivan, Cormac. “Zeros of the Dilogarithm.” arXiv:1507.07980 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07980.
• Broadhurst, David. ‘Tests of Conjectures on Multiple Watson Values’. arXiv:1504.08007 [hep-Th], 29 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.08007.
• Leonard C. Maximon The Dilogarithm Function for Complex Argument, Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 459, No. 2039 (Nov. 8, 2003)

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1238449

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]